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sr-due, sr-interval, sr-ease

sr-due	sr-interval	sr-ease
2022-11-19	65	270

up::équation différentielle title:: "contient une fonction et sa dérivation", "$a(x)y'(x) + b(x)y(x) = c(x)$" #maths/algèbre #review

Des équation différentielle dans lesquelles seule la dérivation dérivées successives apparaît.

Forme

[!example] Exemples

• y' + a(x)y = b(x) (forme classique)
• y'\ln(y + y') = \cos y

Forme usuelle

La forme la plus commune est : y' + a(x)y = b(x)

• Si elles sont de la forme m(x)y' + a(x)y = b(x), on les ramène à la forme précédente : y' + \frac{a(x)}{m(x)}y = \frac{b(x)}{m(x)}
  • Si m(x) s'annule, on travaille par intervalle

Equations homogènes

Les équations pour lesquelles b(x): x\mapsto 0 sont dites homogènes, ou sans second membre Elles sont de la forme y' + a(x)y = 0

Equation vérifiant une condition initiale

Soit une équation y' +a(x)y = b(x), sur un intervalle I La donnée d'une condition initiale pour cette équation est la donnée de x_{0}\in I et de y_{0}\in\mathbb{R} Une solution satisfaisant cette condition initiale est une solution y telle que y(x_{0}) = y_{0}

Equations a variables séparées

Une équation de la forme f(y)\cdot y' = g(x) (ou bien = (f\circ y)(x)\times y'(x) = g(x))

Propriétés

Linéarité

Soient y_{1} et y_2 qui vérifient y_{1}' + a(x)y_{1} = b(x) et y_{2}' + a(x)y_{2} = b(x) On a:

• Y = y_{1} - y_{2} est solution de Y' + a(x)Y = 0

• Si y_{h} est solution de y'+a(x)y = 0

  • alors y_{h} + y_1 est aussi solution de y'+a(x)y = b(x)
  • On utilise cela pour trouver des solutions

Autrement dit : la solution générale est la somme d'une solution particulière et de la solution de la forme homogène de l'équation

Résolution

Résoudre une équation différentielle du premier ordre#Equations homogènes

On cherche la solution générale de l'équation y' + a(x)y = 0

$$\begin{align*} y' + a(x)y = 0 &\iff y' = -a(x)y\ \text{si } y \text{ ne s'annule pas : } & \iff \frac{y'}{y}= -a(x)\ & \iff \big(\ln(|y|)\big)' = -a(x)\ \text{si } A' = a :& \iff \ln|y| = -A(x) + \underbrace{C}_{C\in\mathbb{R}}\ & \iff |y| = e^{-A(x)+C}\ & \iff \left{ \begin{gathered} y = e^{-A(x)} e^{C}\ \text{ ou }\ y = -e^{-A(x)} e^{C}\ \end{gathered} \right.\ \text{on pose } K = \pm e^{C} & \iff y = Ke^{-A(x)}\ & \text{On peut aussi avoir } K = 0, \text{ solution lorsque } y \text{ s'annule} \end{align*}$$

Résoudre l'équation complète

Méthode par variation de la constante

y' + a(x)y = b(x) Une fois que l'on à résolu l'équation sans second membre. On à donc trouvé A, une primitive de a

On pose y(x) = M(x)e^{-A(x)} Alors :

• y'(x) = M'(x)e^{-A(x)} - M(x)A'(x)e^{-A(x)}
• Donc : y'(x) + a(x)y(x) = M'(x)e^{-A(x)} - \underbrace{a(x)M(x)e^{-A(x)}}_{a(x)y(x)} + a(x)y(x)
• y'(x) + a(x)y(x) = M'(x)e^{-A(x)}
• Si y est solution, alors M'(x)e^{-A(x)} = b(x)
• M'(x) = \frac{b(x)}{e^{-A(x)}} = b(x)e^{A(x)}
• Donc : \displaystyle M = \int b\times e^{A}\text{d} x
• Et M(x)e^{-A(x)} est une solution de l'équation Conclusion : Les solutions s'écrivent : \displaystyle \underbrace{M(x)e^{-A(x)}}_{\text{solution particulière}} + \underbrace{Ke^{-A(x)}}_{\text{solution de l'équation sans second membre}}

Soit : e^{-A(x)} (M(x) + K)

Résoudre l'équation avec une condition initiale

Lorsque l'on a aussi une équation différentielle du premier ordre#Forme#Equation vérrifiant une condition initiale, on peut simplement d'abord résoudre l'équation différentielle, et ensuite déduire les valeurs des constantes de cette condition initiale.

Résoudre une équation a variables séparées

Lorsque l'on a une équation différentielle du premier ordre#Forme#Equations a variables séparées Soit l'équation : (E) : f(y)y' = g(x) On pose F' = f (f doit être intégrable) Alors : (F\circ y)' = y' \times (F'\circ y) = f(y)\times y'

Soit G' = g \begin{align*} (E):& f(y)y' = g(x)\\ & (F\circ y)' = G'\\ & F\circ y = G + \text{cste.}\\ \end{align*}