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up::équation cartésienne title::"$ax + by +c = 0$" #maths

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Une droite dans le plan peut être vue comme l'ensemble des points satisfaisant une équation.

[!definition] Equation cartésienne d'une droite Equation de la forme ax + by + c = 0 avec (a, b, c) \in \mathbb{R}^{2} et (a, b) \neq (0, 0) ^definition

[!definition] Equation cartésienne d'une droite passant par deux points Soient A = (x_{A}, y_{A}) et B = (x_{B}, y_{B}) et A \neq B L'équation de la droite (AB) est : \begin{vmatrix} x-x_{A} & x_{B}-x_{A} \\ y-y_{A} & y_{B}-y_{A}\end{vmatrix} = 0

[!info] Justification Soit M = (x; y) un point

$$\begin{align} M \in (AB) &\iff \overrightarrow{AM} \text{ et } \overrightarrow{AB} \text{ sont colinéaires}\ &\iff \det(\overrightarrow{AM}, \overrightarrow{AB}) = 0\ &\iff \begin{vmatrix} x-x_{A} & x_{B}-x_{A} \ y-y_{A} & y_{B}-y_{A}\end{vmatrix} = 0\ \end{align}$$

Propriétés

Soit D : ax+by+c=0

Vecteur directeur

Un vecteur directeur de D est \begin{pmatrix}-b\\a\end{pmatrix}

• [!] c'est bien \begin{pmatrix}-b\\a\end{pmatrix} et non \begin{pmatrix}-a\\ b\end{pmatrix} (a et b inversés)

L'ensemble des vecteurs directeurs de D est \{ k \begin{pmatrix}-b\\ a\end{pmatrix} \mid k \in \mathbb{R}^{2}\}

Vecteur orthogonal

Un vecteur orthogonal à D est \begin{pmatrix}a\\ b\end{pmatrix}

L'ensemble des vecteurs orthogonaux à D est \left\{ k \begin{pmatrix}b\\ a\end{pmatrix} \mid k \in \mathbb{R}^{2} \right\}

Pour les droite vectorielle

Pour les droites vectorielles, la forme est ax+by = 0 car on est sur un plan sans origine. En fait : D = \left\{ \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} \in \mathbb{R}^{2} \;\Bigg|\; ax + by = 0 \right\} où (a; b) \neq (0; 0)

Les formules pour les équation cartésienne d'une droite#Vecteur directeur et pour les équation cartésienne d'une droite#Vecteur orthogonal sont les mêmes car elles ne contiennent pas c.