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Un polygone est une figure géométrique plane formée d'une ligne brisée fermée, c'est-à-dire d'une suite cyclique de segments consécutifs
Propriétés
Ordre d'un polygone
L'ordre d'un polygone est le nombre de ses côtés (c'est évidemment aussi le nombre de ses sommets ou de ses angles)
Elements opposés
Soit n l'ordre d'un polygone
- Si
nest pair- les sommmets séparés par
\frac{n}{2}côtés sont dits opposés entre eux - même chose pour les angles
- même chose pour les côtés
- les sommmets séparés par
- Si
nest impair- les côtés sont opposés aux angles, et vice-versa
- formellement : chaque côté est opposé a l'angle situé
\frac{n-1}{2}sommets plus loin
Diagonales
Une diagonale d'un polygone est un segment qui joint deux sommets non consécutifs d'un polygone.
Un polygone d'polygone#Ordre d'un polygone n possède \disp \binom{n}{2}-n = \frac{n(n-3)}{2} diagonales
Typologie des polygones
Classement par convexité
Polygone croisé
Un polygone est dit croisé si au moins deux de ses côtés sont sécants, c'est-à-dire si au moins deux de ses côtés non consécutifs se coupent.
Polygone simple
Un polygone est dit simple si deux cotés non consécutifs ne se coupent pas et si deux côtés consécutifs n'ont en commun qu'un de leurs sommets.
Polygone convexe
Un polygone est dit convexe si son intérieur est convexité, c'est-a-dire si toutes ses polygone#Diagonales sont entièrement dans son intérieur.
Exemple : Pentagone non-convexe !polygone 2022-07-26 16.40.43.excalidraw Les diagonales en rouge ne sont pas à l'intérieur du polygône.
Classement par symétries
Notion d'élément de symétrie
Les symétries d'un polygone d'ordre $n$ sont les isométrie affine du plan euclidien qui permutation à la fois ses n sommets et ses n côtés.
Une telle application affine point fixe nécessairement l'isobarycentre G des somments, donc ne peut être que de deux types :
- une symétrie axiale dont l'axe passe par
G - une rotation de centre
Gdont l'angle est multiple de\frac{2\pi}{n}
Polygone régulier
Un polygone régulier si il est équilatéral (côtés égaux) et équiangle (angles égaux).
Un polygone d'ordre n est régulier si il est le "plus symétrique possible", c'est-à-dire que son groupe de symétrie est D_n (un groupe diédral).
Symétrie axiale
Le groupe de symétrie est groupe diédral