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difficulty, due

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6	2023-02-03

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Exercice 0.9

1.

1. Donner les racines réelles des polynômes suivants et les factoriser : P(X) = X^{2}+X-6 Q(X) = X^{2}-8X+16 R(X)=X^{2}+2X+2

Racines de P

P(X) = X^{2}+X-6

Une racine évidente de P(X) est 2 : P(2) = 2^{2}+2-6 = 0.

On fait la division de polynômes :

\begin{array}{ccc|l}
X^{2} &+ X &- 6 & X-2 \\
\hline
-(X^{2} &- 2X)&&X + 3\\
&3X&-6& \\
&-(3X&-6)& \\
&&0
\end{array}

Donc, P(X) = (X-2)(3X-6) = 3(X-2)(X-3), et donc les racines de P sont 2 et 3.

Racines de Q

Q(X) = X^{2}-8X+16

\Delta = 8^{2}-4\times 16 = 0, donc Q admet une seule racine.

On remarque que 4 est une racine évidente, Q(4)=0. Comme \Delta = 0, on sait que 4 est une racine de multiplicité 2.

Racines de R

R(X)=X^{2}+2X+2

\Delta = 2^{2}-4\times 2 = -4 < 0, donc R n'admet aucune racine réelle.

2.

2. Factoriser le polynôme

P(X) = X^{4}-2X^{3}+X = X(X^{3}-2X^{2}+1)

On voit qu'une racine évidente de P est 1, car (1)^{3}-2(1)^{2}+1 =0. Donc, X^{3}-2X^{2}+1 est divisible par X-1

\begin{array}{cccc|l}
X^{3} & -2X^{2} & & +1 & X-1 \\
\hline
-(X^{3}&-X^{2})&&&X^{2}-X-1 \\
&-X^{2}&&+1 \\
&-(-X^{2}&+X)&& \\
&&-X&+1& \\
&&-(-X&+1)& \\
&&&0
\end{array}

Donc, P(X) = X(X-1)(X^{2}-X-1)

On cherche à factoriser X^{2}-X-1

\Delta = 1^{2} - 4\times 1\times (-1) = 5

Donc : X^{2} - X - 1 = \left( X - \frac{1-\sqrt{ 5 }}{2} \right) \left( X - \frac{1+\sqrt{ 5 }}{2} \right)

Si on note \varphi = \frac{1+\sqrt{ 5 }}{2} et \varphi' = \frac{1-\sqrt{ 5 }}{2}, on obtient :

\boxed{P(X) = X(X - 1)(X - \varphi)(X-\varphi')}

2.

On considère le polynôme P(X) = X^5 − X^4 − X^3 − X^2 + 4X − 2. Montrer que 1 est racine triple de P. En déduire une factorisation de P.

1 est racine triple de P

P(1) = (1)^{5} - (1)^{4} - (1)^{3} - (1)^{2}+4(1) - 2 = -2 + 4 - 2 = 0, donc 1 est racine de P

P'(X) = 5X^{4} - 4X^{3} - 3X^{2}-2X+4 P'(1) = 5 - 4 - 3 - 2 + 4 = 0, donc 1 est au moins racine double de P

P''(X) = 20X^{3} - 12X^{2} - 5X - 2 P''(1) = 20 - 12 - 6 - 2 = 0, donc 1 est au moins racine triple de P

P^{(3)}(X) = 60X^{2} - 24X - 5 P^{(3)}(1) = 60 - 24 - 5 = 31 \neq 0, donc 1 n'est pas racine de multiplicité 4.

1 est bien une racine de multiplicité 3 de P. On en déduit que P est divisible par (X-1)^{3} = X^{3} - 3X^{2} + 3X - 1

\begin{array}{cccccc|l}
X^{5}&-X^{4}&-X^{3}&-X^{2}&+4X&-2 & X^{3} - 3X^{2} + 3X - 1 \\
\hline
-(X^{5}&-3X^{4}&+3X^{3}&-X^{2})&&&X^{2} + 2X + 2\\
&2X^{4}&-4X^{3}&&+4X&-2& \\
&-(2X^{4}&-6X^{3}&+6X^{2}&-2X) & \\
&&2X^{3}&-6X^{2}&+6X&-2 \\
&&-(2X^{3}&-6X^{2}&+6X&-2)& \\
&&&&&0
\end{array}

Donc, P(x) = (X - 1)^{3}(X^{2}+3X+2)

On cherche à factoriser X^{2}+3X+2

\Delta = 3^{2}-4\times 2 = 1 > 0, donc :

X^{2} + 3X + 2 = \left( X - \frac{-3-\sqrt{ 1 }}{2} \right)\left( X - \frac{-3+\sqrt{ 1 }}{2} \right) = (X + 2)(X + 1)

Donc, on a :

\boxed{P(X) = (X-1)^{3}(X+1)(X+2)}

Exercice 0.10

Soit f l'application linéaire de \mathbb{R}^{3} \to \mathbb{R}^{3} définie par :

f(x_1; x_2; x_3) = (x_1-x_3; 2x_1+x_2-3x_3; -x_2-2x_3)

f\left(\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}\right) = \begin{pmatrix}x_1-x_3\\2x_1+x_2-3x_3\\-x_2-2x_3\end{pmatrix}

Soit (e_1; e_2; e_3) la base canonique de \mathbb{R}^{3}.

1.

1. calculer f(e_1), f(e_2) et f(e_3)

f(e_1) = (1 - 0; 2 + 0 - 0; -0-0) = (1; 2; 0)

f(e_2) = (0; 1; -1)

f(e_3) = (-1; -3; -2)

On sait alors que la représentation matricielle de f dans la base canonique est :

[f]_{(e_1; e_2; e_3)} = (f(e_1), f(e_2), f(e_3)) = \begin{pmatrix}1&0&-1\\ 2&1&-3\\ 0&-1&-2\end{pmatrix}

Réglages

A rendre pour le

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Difficulté :

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