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aliases:
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- minimal
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up:
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- "[[polynôme]]"
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tags:
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- s/maths/algèbre
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[!definition] Définition
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> Soit $E$ un $K$-[[espace vectoriel]]
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> Soit $f \in \mathscr{L}(E)$
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> L'application :
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> $\begin{align} \varphi _{f} : K[X] &\to \mathscr{L}(E) \\ P &\mapsto P(f) \end{align}$
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> est un [[morphisme]] d'algèbres, c'est-à-dire à la fois un [[morphisme d'anneaux]] et [[endomorphisme d'espaces vectoriels|de K-ev]]
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> Comme $K[X]$ est de dimension infinie en tant que $\mathbf{K}$-[[espace vectoriel|ev]] et que ce n'est pas le cas pour $\mathscr{L}(E)$, il en résulte que $\ker \varphi _{f}$ est un [[idéaux d'un anneau|idéal]] non réduit à $\{ 0 \}$ de $K[X]$.
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>
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> Il existe alors un unique [[polynôme unitaire]] $\pi _{f}$ tel que $\ker \varphi _{f} = (\pi _{f})$
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>
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> $\pi _{f}$ est appelé **polynôme minimal** de $f$.
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> De même, si $A \in \mathcal{M}_{n}(K)$, le polynôme $\pi _{A}$, unique générateur du [[Noyau d'une application linéaire|noyau de l'application]] $P \mapsto P(A)$ est appelé **polynôme minimal** de $A$
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^definition
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# Propriétés
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# Exemples
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