46 lines
1.6 KiB
Markdown
46 lines
1.6 KiB
Markdown
---
|
|
alias: [ "démonstration" ]
|
|
---
|
|
up:: [[norme]]
|
|
sibling:: [[inégalité de Minkowski]]
|
|
title:: "$d(a, c) \leq d(a, b) + d(b, c)$", "$\|a+b\| \leq \|a\| + \|b\|$"
|
|
#s/maths/algèbre
|
|
|
|
---
|
|
|
|
> [!definition] inégalité triangulaire
|
|
> Soit $(E, \langle \cdot,\cdot\rangle)$ un [[espace préhilbertien]] de norme $\|\cdot\|$
|
|
> Soit $d(x, y)$ la [[distance]] associée à cette norme
|
|
> On a l'inégalité suivante :
|
|
> $\boxed{\forall (a, b, c) \in E^{3}, \quad d(a, c) \leq d(a, b)+d(b, c)}$
|
|
> Ou bien, de façon vectorielle ([[inégalité de Minkowski]]) :
|
|
> $\|a+b\| \leq \|a\| + \|b\|$
|
|
> - [i] on peut passer de l'une à l'autre avec un changement de variable $b-a\to a$ et $c - b \to a$
|
|
^definition
|
|
|
|
# Démonstration
|
|
## $\|a+b\| \leq \|a\| + \|b\|$
|
|
|
|
|
|
On commence par montrer l'inégalité sur les carrés :
|
|
$\|a+b\|^{2} \leq (\|a\| + \|b\|)^{2}$
|
|
|
|
$$\begin{align}
|
|
\|a+b\|^{2} &= \|a\|^{2} + \|b\|^{2} + 2\langle a, b \rangle \\
|
|
&\leq \|a\|^{2} + \|b\|^{2} + 2\cdot\|a\|\cdot\|b\| && \text{par l'inégalité de Cauchy-Schwarz} \\
|
|
&\leq \left( \|a\| + \|b\| \right) ^{2} && \text{identité remarquable}
|
|
\end{align}$$
|
|
On peut en déduire que :
|
|
$\|a+b\| \leq \|a\|+\|b\|$
|
|
|
|
## $d(a, c) \leq d(a, b) + d(b, c)$
|
|
|
|
Par définition, $d(x, y) = \|y -x\|$
|
|
Donc :
|
|
$$ \begin{align}
|
|
d(a, c) \leq d(a, b) + d(b, c) &\iff \|c - a\| \leq \|b - a\| + \|c - b\| \\
|
|
&\iff \|(c - b) + (b - a) \| \leq \|b - a\| + \|c - b\| \\
|
|
&\iff \|A+B\| \leq \|A\| + \|B\| && \text{changement de variables :} \begin{cases} A = b -a\\ B = c - b \end{cases}
|
|
\end{align} $$
|
|
On a déjà démontré que $\|A+B\|\leq \|A\|+\|B\|$ est toujours vraie, donc l'inégalité triangulaire est vraie.
|