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[!definition] Forme quadratique Soit E un $\mathbf{K}$-espace vectoriel de dimension d'un espace vectoriel finie Une forme quadratique sur E est une application Q de E \to \mathbf{K} qui s'exprique quelle que soit la base d'un espace vectoriel, sous la forme d'un polynôme homogène de degré d'un polynôme 2 ^definition

[!definition]- Autre définition Soit E un $\mathbf{K}$-espace vectoriel de dimension d'un espace vectoriel finie Une forme quadratique sur E est une application q de E \to \mathbf{K} qui peut s'exprimer comme q(x) = b(x, x), où b est une forme bilinéaire de E^{2} \to \mathbf{K}

Propriétés

[!definition] Théorème Soit E un $\mathbf{K}$-espace vectoriel de dimension d'un espace vectoriel finie Soit Q : \mathbf{E} \to K une application Q est une forme quadratique ssi :

\boxed{\forall x \in E, \quad \forall \lambda \in \mathbf{K}, \quad Q(\lambda x) = \lambda^{2}Q(x)}

• similaire à l'application homogène pour des application linéaire

\boxed{\begin{align}B :\, & E^{2} \to \mathbf{K} \\ &(x, y) \mapsto \frac{1}{2} \left( Q(x+y) - Q(x) - Q(y) \right) \end{align}} est une forme bilinéaire symétrique

• on a alors B(x, x) = Q(x)
• la forme bilinéaire symétrique de B est important pour qu'elle soit unique à respecter cette propriété
• B est la forme bilinéaire symétrique associée à une forme quadratique à \varphi

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