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Chapitre I	Suites de fonctions

#s/maths/analyse

1.0 Cadre étudié

I \subset R (le plus souvent, I est un intervalle) Une suite de fonctions (f_{n}(\cdot))_{n} :

\forall n \in \mathbb{N} \;(\text{ou} \mathbb{N}^{*}, \text{ ou}\dots), \quad f_{n}: I \to \mathbb{R}

On visualise (f_{n}(\cdot))_{n} comme une famille de courbes (graphes des fonctions f_{n}(\cdot)) On veut décrire la convergence des courbes en question vers une "courbe limite", qui serait le graphe d'une fonction f(\cdot).

• [!] Diverses notions de convergence peuvent être utiles ici

[!info] Remarque On regardera parfois le cas des fonctions complexes (à valeurs dans \mathbb{C}, mais aussi définies sur I \subset \mathbb{C}); Il y a peu de différences avec les cas réels au niveau des notions mises en jeu.

[!tldr] Exercice

1. f_{n} : x \mapsto \frac{x}{n} sur \mathbb{R}
2. f_{n} : x \to x^{n} sur [0; 1] Dessiner les graphes de f_1, f_2, f_3, f_4, f_5,\dots et conjecturer la fonction limite dans chaque cas. On pourra se représenter les courbes "en mode film".

I.1 Convergence simple

• C'est la notion "facile" : la seule nouveauté, comparé au semestre 3, c'est la présence d'un paramètre x \in I dans les calculs des \lim\limits_{ n \to \infty } a_{n} (on aura \forall n, \quad a_{n} = f_{n}(x))
• La seule difficulté sera la disjonction des cas : on devra parfois choisir des techniues différentes de calcul de limite \lim\limits_{ n \to \infty }f_{n}(x) selon la valeur fixée x
• Le mot dordre de CVS est :
  • x est fixé, n bouge

[!definition] Définition : Convergence simple Soit I \subset \mathbb{R} et \forall n \in \mathbb{N}\; (\text{ou } \mathbb{N}^{*},\dots) \quad f_{n}(\cdot) une fonction de I dans \mathbb{R} On dit que f_{n} \to f simplement sur $I$ si : Pour tout x \in I fixé, la suite numérique (f_{n}(x))_{n} a une limite, et cette limite vaut f(x) On résume ceci dans \boxed{\forall x \in I\quad \lim\limits_{ n \to \infty }f_{n}(x) = f(x)}

On désignera la convergence simple par le sigle "CVS". On pourra dire "convergence ponctuelle" à la place de "simple".

• On remarque que le terme défini n'est pas "CVS", mais "CVS sur $I$". De fait, la notion dépend (un peu) de l'intervalle I choisi

[!example] Exemple f_{n} : x \mapsto x^{n} est définie sur \mathbb{R}.

• Si l'on regarde cette suite sur I = [0; 1], il y a CVS vers la fonction limite f: x \mapsto \begin{cases} 0, x \in [0, 1[\\ 1, x = 1 \end{cases}
• Si l'on regarde cette suite sur I = \left[0; \frac{1}{2} \right], il y a CVS vers la fonction limite nulle en tout point
• Si l'on regarde cette suite sur I = \mathbb{R}, il n'y a pas CVS puisque pour certains x \in I, la suite (x^{n})_{n} diverge

Reformulation technique de CVS

A fin de comprendre la notion de convergence uniforme (CVU) qui fera l'objet du chapitre suivant, on va déchiffrer la notion de CVS en termes de \varepsilon (ce langage s'impose dès que l'on tombe sur des preuves délicates !)

[!definition] CVS en termes de \varepsilon On dit que la suite (f_{n}(\cdot))_{n} de fonctions définies sur I converge simplement (ponctuellement) sur I vers la fonction limite f(\cdot) si : \boxed{\forall x \in I, \quad \left[ \forall \varepsilon > 0, \quad \exists N = N_{\varepsilon, x} \quad \text{tq} \quad \forall n \geq N \quad |f_{n}(x) - f(x)| \leq \varepsilon \right]}

Il est essentiel, dans cette définition, que N est autorisé à dépendre de $x$

• pour chaque x fixé, N_{\varepsilon, x} augmente lorsque \varepsilon diminue. La façon qu'a N_{\varepsilon,x} d'augmenter avec \varepsilon \downarrow 0 décrit la vitesse de convergence de la suite f_{n}(x) vers la limite f(x). Dans la notion de CVS, cette vitesse est donc autorisée à dépendre de x.

[!example] Exemples 1.

Pour f_{n} : x \mapsto \frac{x}{n} sur I = \mathbb{R}, on calcule \lim\limits_{ n \to +\infty } \frac{x}{n} = 0 pour tout x \in \mathbb{R}. On trouve, pour x \in \mathbb{R} et \varepsilon > 0, N_{\varepsilon,x} = \frac{|x|}{\varepsilon}. On voit que, si \varepsilon = 10^{-2} :

• pour x = 0, N = 0 convient

• pour x = 1, N = 100 convient

• pour x = 1000, N = 1000000 convient Lorsque x augmente, il faut dans cet exemple attendre plus longtemps pour la même précision d'approximation.

Pour f_{n} : x \mapsto x^{n} sur I = [0, 1], on calcule \lim\limits_{ n \to \infty } f_{n}(x) = \begin{cases} 0 \text{ si } x \in [0, 1[\\ 1 \text{ si } x = 1 \end{cases} On trouve, pour x \in ]0, 1[ et \varepsilon > 0 : \displaystyle N_{\varepsilon,x} = \frac{\ln \frac{1}{\varepsilon}}{\ln \frac{1}{x}}

$$\begin{align} \ \ | f_{n}(x) - f(x) | \leq \varepsilon &\iff |x^{n} - 0| \leq \varepsilon\ \ &\iff x^{n} \leq \varepsilon \iff n \ln x \leq \ln \varepsilon && \text{et, comme} 0 < x < 1 \ &\iff n \geq \frac{\ln 2}{\ln x} = \frac{-\ln \varepsilon}{- \ln x} = \frac{\ln \frac{1}{\varepsilon}}{\ln \frac{1}{x}} && \text{on a } \ln x < 0 \end{align}$$ On remarque qu'on a bien, à x fixé, N_{e,x} qui augmente lorsque \varepsilon \searrow 0 De plus, la façon dont N_{\varepsilon,x} augmente avec \varepsilon \searrow 0 dépend de la valeur de x : on a N_{e, x} = \text{const}(x) \cdot \ln \frac{1}{\varepsilon} avec \displaystyle \text{const}(x) = \frac{1}{\ln \frac{1}{x}} \begin{cases} \text{petite, si } x \approx 0\\ \text{grande si } x \approx 1 \end{cases}

On remarquera que, pour x=0 et pour x = 1, N_{\varepsilon,x} = 0 convient : pour ces deux valeurs de x, on a la convergence instantannée de f_{n}(x) vers sa limite f(x) \begin{pmatrix}f_{n}(0) = 0\\&\forall n \in \mathbb{N}: \text{2 suites stationnaires} \\f_{n}(1)=1\end{pmatrix}

[!example] Exemples

1. f_{n}(x) = \frac{x}{n} pour I = \mathbb{R} :

   • avec la valeur fixée du paramètre x, par exemple x=2019, on trouve \lim\limits_{ n \to \infty }f_{n}(2019) = \lim\limits_{ n \to \infty } \frac{2019}{n} = \frac{2019}{+\infty} = 0
   • ce principe de calcul convient pour toute valeur de x : \lim\limits_{ n \to \infty }f_{n}(x) = \lim\limits_{ n \to \infty } \frac{x}{n} = \frac{x}{+\infty} = 0 Donc, f_{n}(\cdot) converge vers la fonction nulle f: x \mapsto 0 simplement sur \mathbb{R}.

2. f_{n}(x) = x^{n} sur I = [0, 1] :

   • avec par exemple x = \frac{2}{3}, on trouve \ln \frac{2}{3} = \left( \frac{2}{3} \right)^{n} \underset{n \to +\infty}{\longrightarrow} 0 car | \frac{2}{3} | < 1 (la suite q^{n} est un des exemples de Semestre 3 qui est de référence : il est à connaître par coeur)

[!info] Remarques

• le même calcul s'applique pour chaque x tel que |x| < 1; comme on a ici x \in I = [0, 1], il s'applique à x \in [0, 1[ : pour tout x \in [0,1[ fixé, f_{n}(x) = x^{n} \underset{\longrightarrow}{n \to +\infty}.
• le cas x = 1 est alors à traiter à part : on a f_{n}(1) = 1^{n} = 1 \underset{n \to +\infty}{\longrightarrow} 1.

La tentative de calcul de \lim\limits_{ n \to \infty }f_{n}(x) fait apparaître la disjonction des cas : ici, x \in [0, 1[ et x = 1

Donc, f_{n}(\cdot) CVS sur [0, 1] vers f: x \mapsto \begin{cases} 0, x \in [0, 1[\\ 1, x = 1\end{cases}

3. \displaystyle f_{n}: x \mapsto \frac{n^{2}x -nx^{2}}{n^{2}x^{2} +x +n}

[!info] Remarque On voit facilement que \forall n \geq 1, \quad n^{2}x^{2}+x+n > 0 sur \mathbb{R} donc f_{n}(\cdot) est bien définie sur \mathbb{R} quel que soit n \geq 1.

• avec x = 17
  • f_{n}(17) = \frac{17n^{2}-17^{2}n}{17^{2}n^{2}+17+n} \underset{n \to +\infty}{\sim} \frac{17n^{2}}{17^{2}n^{2}} = \frac{1}{17} donc, f_{n}(17) \underset{n \to +\infty}{\longrightarrow} \frac{1}{17}
• le même principe de calcul s'appliquerait-il pour tout x \in \mathbb{R} ? Il faut détailler le raisonnement d'équivalence :

\displaystyle \underbrace{\frac{\boxed{n^{2}x} - nx^{2}}{\boxed{n^{2}x^{2}} + x +n}}_{\text{termes dominants encadrés}} = \frac{\cancel{n^{2}x}\left( 1 - \frac{nx^{2}}{n^{2}x} \right)}{\cancel{n^{2}}x^{\cancel2}\left( 1+ \frac{x}{n^{2}x^{2}} + \frac{n}{n^{2}x^{2}} \right)} = \frac{1}{x} \frac{1 - \frac{x}{n}}{1+\frac{1}{n^{2}} +\frac{1}{nx^{2}}} \underset{n \to +\infty}{\sim} \frac{1}{x}

• [!] A condition qu'on puisse diviser par x dès le début du calcul !

Cette remarque nous amène à la disjonction des cas : \begin{cases} x = 0\\x \neq 0 \end{cases}

• Pour x \neq 0, f_{n}(x) \underset{n \to +\infty}{\longrightarrow} \frac{1}{x} d'après notre équivalence
• Pour x = 0, f_{n}(x) = \frac{n^{2}\cdot 0 - n\cdot 0^{2}}{n^{2} \cdot 0^{2} + 0 + n} = \frac{0}{n} = 0 \underset{n \to +\infty}{\longrightarrow} 0

Conclusion : f_{n}(\cdot) CVS sur \mathbb{R} vers f: x \mapsto \begin{cases} \frac{1}{x}, x \neq 0\\ 0, x = 0 \end{cases}

[!info] Remarque Les cas à séparer apparaissent naturellement de la tentative de calcul, pour peu qu'on la fasse rigoureusement.

4. f_{n} : x \mapsto x(1-x)^{n} sur I = [0, 1]

La technique du calcul nous pousse à distinguer les cas \begin{cases} |1-x| < 1 \text{ cad } x \in ]0,1] \\ |1-x|\geq 1 \text{ cad } x = 0\end{cases} On trouve :

• \forall x \in ]0, 1], \lim\limits_{ n \to \infty }f_{n}(x) = \lim\limits_{ n \to \infty }x(1-x)^{n} = x \lim\limits_{ n \to \infty }(1-x)^{n} = x\cdot 0 = 0
• \lim\limits_{ n \to \infty } f_{n}(0) = \lim\limits_{ n \to \infty }0(1 - 0)^{n} = \lim\limits_{ n \to \infty }0 = 0

Donc, f_{n}(\cdot) CVS sur [0, 1] vers la fonction identiquement nulle f: x \mapsto 0

5. f_{n} : x \mapsto e^{ -nx^{2} } sur I = \mathbb{R}

On remarque que -nx^{2} \underset{n \to +\infty}{\longrightarrow} - \infty sauf pour $x = 0$; d'où la disjonction des cas :

• x = 0 \implies f_{n}(0) = e^{ -n\cdot 0^{2} } = e^{ 0 } = 1 \underset{n \to \infty}{\longrightarrow} 1
• x \neq 0 \implies f_{n}(x) = e^{ -nx^{2} } \underset{n \to \infty}{\longrightarrow} 0

D'où la CVS de f_{n}(\cdot) sur \mathbb{R} vers la famille f : x \mapsto \begin{cases} 1, x = 0\\ 0, x =\neq 0 \end{cases}

[!info] Remarques

• On observe ici "une dégradation des propriétés de $f_{n}(\cdot)$" à la limite : la continuité des fonctions f_{n}(\cdot) (évidentes) n'est pas hérités par la fonction limite f(\cdot) (manifestement discontinue en x = 0)
• On peut étudier la vitesse de convergence de f_{n}(x) vers f(x) selon la valeur de x. On trouvera que cette vitesse se dégrade lorsque x s'approche de 0.

Exercice : trouver N_{\varepsilon,x} dans ce cas, et analyser son comportement

Ces deux remarques sont signes de non-uniformité de la convergence (affaire à suivre !)

6. f_{n} : x \mapsto xe^{ -nx^{3} }.

On est amené à distinguer x > 0, x = 0 et x < 0. Considérée sur I = \mathbb{R}, la suite (f_{n}(\cdot))n ne converge pas pour x < 0 (prendre x = -13 pour s'en convaincre)

Considérée sur I = \mathbb{R}^{+}, la suite (f_{n}(\cdot))_{n} converge vers f itentiquement nulle (il convient de distinguer x > 0 et x = 0 dans le calcul)

7. \displaystyle f_{n} : x \mapsto \left( 1 - \frac{x}{n} \right)^{2nx} sur I = ]-\infty, 1]

[!info] Remarque
\forall x \in I, \forall n \geq 1, \quad 1 - \dfrac{x}{n} \geq 0, ce qui donne un sens à la puissance non entière de 1 - \dfrac{x}{n}

On arrive à calculer, sans disjonction de cas : $$\begin{align} \ \left( 1 - \frac{x}{n} \right) ^{2nx} &= \exp \left( 2nx \ln \left( 1 - \frac{x}{n} \right) \right) \ &= \exp \left( 2nx \left( -\frac{x}{n} \right) \right) \end{align} $$