cours/théorème de convergence monotone.md

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théorème de convergence monotone théorème de Beppo-Levi

up:: intégration, intégrale de lebesgue #maths/intégration

[!proposition]+ théorème de convergence monotone Soit (f_{n}) une suite suite croissante de fonction mesurable positives. Soit \displaystyle f = \sup_{n} f_{n} f est mesurable positive, et on a : \boxed{\displaystyle\int _{E} \lim\limits_{ n \to \infty } f_{n} \, d\mu = \int _{E} f \, d\mu = \lim\limits_{ n \to \infty } \left( \int _{E} f_{n} \, d\mu \right)}

[!démonstration]- Démonstration \forall x \in E,\quad (f_{n}(x))_{n} est croissante, et f_{n}(x) \xrightarrow{n \to \infty} f(x) dans \overline{\mathbb{R}^{+}} et f_{n}(x) \leq f(x)

• \forall n \in\mathbb{N},\quad \int _{E} f_{n} \, d\mu \leq \int _{E} f \, d\mu Et la suite \left( \int _{E} f_{n} \, d\mu \right)_{n \in \mathbb{N}} est croissante et converge dans \overline{\mathbb{R}^{+}} donc \lim\limits_{ n \to \infty } \left( \int _{E} f_{n} \, d\mu \right) \leq \int _{E} f \, dx

• Soit u une fonction étagée positive, avec u \leq f et \lambda \in ]0, 1[ Posons E_{n} = \{ x \in E \mid f_{n}(x) \geq \lambda u(x) \} pour n \in \mathbb{N} Alors : \bigcup _{n} E_{n} = E car \lim\limits_{ n \to \infty } f_{n}(x) \geq u(x) > \lambda u(x) \forall n \in \mathbb{N},\quad E_{n} \subset E_{n+1} car (f_{n}) est croissante et car \bigcup _{n} E_{n} = E On a f_{n} \geq \lambda u \mathbb{1}_{E_{n}} donc \int _{E} f_{n} \, d\mu \geq \underbrace{\lambda \int _{E} u \mathbb{1}_{E_{n}} \, dx}_{\text{fonction étagée}} \int _{E} u \mathbb{1}_{E_{n}} \, d\mu \xrightarrow{n \to \infty} \int _{E} u \mathbb{1}_{E} \, d\mu = \int _{E} u \, d\mu

Alors : \lim\limits_{ n \to \infty } \int _{E} f_{n} \, d\mu \geq \lambda \int _{E} u \, d\mu On prend le supremum sur u étagée \leq f \lim\limits_{ n \to \infty } \left( \int _{E} f_{n} \, d\mu \right) \geq \lambda \int _{E} f \, d\mu (vrai pour tout \lambda < 1)

^theoreme