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[!definition] groupe symétrique d'indice n Soit n \in \mathbb{N}^{*} Soit \mathfrak{S}_{n} l'ensemble des bijection \{ 1,\dots,n \} \to \{ 1, \dots, n \} On appelle groupe symétrique d'indice $n$ le groupe (\mathfrak{S}_{n}, \circ)

• Sont élément neutre est Id_{\{ 1,\dots,n \}}
• L'inverse de \sigma \in \mathfrak{S}_{n} est la bijection application réciproque \rho donnée par \forall (i, j) \in [\![1, n]\!]^{2}, \quad \rho(i) = j \iff i = \sigma(j) ^definition

Propriétés

[!proposition]+ Cardinal {\# \mathfrak{S}_{n} = n!}

[!démonstration]- Démonstration \sigma(1) : n choix, parmi \{ 1, 2, \dots, n \} \sigma(2) : n-1 choix, parmi \{ 1, 2, \dots n \} \setminus \{ \sigma(1) \} \sigma(3) : n-2 choix, parmi \{ 1, 2, \dots n \} \setminus \{ \sigma(1), \sigma(2) \} \vdots \sigma(n-1) : 2 choix, parmi \{ 1, 2, \dots, n \} \setminus \{ \sigma(1), \sigma(2), \dots, \sigma(n) \} \sigma(n) : 1 seul choix restant

D'où suit que le nombre d'éléments de \mathfrak{S}_{n}, qui est le nombre de manières de choisir \sigma(1), \sigma(2), \dots , \sigma(n-1)\text{ et } \sigma(n) , est n!

[!proposition]+ Commutativité

• Les groupes symétriques d'indice n \leq 2 sont commutatifs
• Les groupes symétriques d'indice n \geq 3 sont non-commutatifs

Exemples

\mathfrak S_2 = \left\{ \begin{pmatrix}1&2\\1&2\end{pmatrix}; \begin{pmatrix}1&2\\2&1\end{pmatrix} \right\}

\mathfrak S_3 = \left\{ \begin{pmatrix}1&2&3\\1&2&3\end{pmatrix}; \begin{pmatrix}1&2&3\\1&3&2\end{pmatrix}; \begin{pmatrix}1&2&3\\2&1&3\end{pmatrix}; \begin{pmatrix}1&2&3\\2&3&1\end{pmatrix}; \begin{pmatrix}1&2&3\\3&1&2\end{pmatrix}; \begin{pmatrix}1&2&3\\3&2&1\end{pmatrix}\right\}