cours/polynôme premier.md

up::polynôme #s/maths/algèbre #s/maths/analyse

---

Soit P un polynôme dans A[X] P est premier si :

• il n'est pas nul
• il n'est pas polynôme inversible
• pour tout produit QS divisible par P, l'un des deux polynômes Q ou S est division de polynômes par P
  • \forall Q,S\in A[X], P|QS \implies (P|Q) \vee (P|S)

Autrement dit, P\in A[X] est premier si :

• P est polynôme irréductible :
  • P\neq \mathbb 0
  • \nexists Q\in A[X], PQ = \mathbb{1}
• \begin{align} f :& A[X] \rightarrow \mathbb{B}\\ & x \mapsto P|x \end{align} est un morphisme de groupes de (A[X], \times) vers (\mathbb{B}, \vee)

Propriétés

• Tout polynôme premier est polynôme irréductible
• Dans un anneau factoriel (dans A[X] si a est anneau factoriel), la notion de polynôme premier et de polynôme irréductible sont équivalentes