cours/sous-groupes de R pour l'addition.md

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sous-groupes de (ℝ, +)

up:: sous groupe, ensemble des réels #s/maths/algèbre #s/maths/topologie

[!definition] sous-groupes de R pour l'addition Les sous groupe H de \mathbb{R} sont :

• H = a\mathbb{Z} avec a \in \mathbb{R}^{+}
• H dense dans \mathbb{R}

[!démonstration]- Démonstration si H = \{ 0 \} = 0\mathbb{Z}, on a bien un sous groupe si H contient des éléments \neq 0 et si a \in H \setminus \{ 0 \}, alors -a \in H et soit a>0, soit -a>0, donc H \cap \mathbb{R}^{+*} \neq \emptyset. Soit a = \inf \left( H \cap \mathbb{R}^{+*} \right) Distinguons deux cas :

• a > 0 On veut voir que a \in H \cap \mathbb{R}^{+*} et que H = a\mathbb{Z}

  • Inclusion a\mathbb{Z} \subset H Supposons par l'absurde que a \notin H \cap \mathbb{R}^{+*} Alors, il existe une suite (a_{n})_{n \in \mathbb{N}} d'éléments de H \cap \mathbb{R}^{+*} telle que a_{n} \xrightarrow{n \to \infty} a. Soit \varepsilon = \frac{a}{2}, comme a_{n} \to a, il existe N \in \mathbb{N} tel que \forall n \geq N,\quad |a_{n}-a| < \frac{a}{2} Comme la suite (a_{n}) n'est pas stationnaire (car a = \lim\limits_{ n \to \infty } a_{n} \notin H), on sait qu'il existe n_1, n_2 \geq N tels que a_{n_1} \neq a_{n_2} On a a_{n_1}-a_{n_2} > 0 et |a_{n_1}-a_{n_2}| \leq \underbrace{|a_{n_1} -a |}_{< \frac{a}{2}} + \underbrace{|a-a_{n_2}|}_{<\frac{a}{2}} Donc, \displaystyle 0 < \underbracket{a_{n_1}}_{\in H} - \underbracket{a_{n_2}}_{\in H} < \frac{a}{2} + \frac{a}{2} = a a_{n_1} - a_{n_2} \in H \cap \mathbb{R}^{+*} mais a_{n_1} - a_{n_2} < a On a une contradiction, d'où a \in H \cap \mathbb{R}^{+*}, et donc a\mathbb{Z} \subset H.
  • Inclusion H \subset a\mathbb{Z}. Soit h \in H. Supposons h \notin a\mathbb{Z}. Soit n = \left\lfloor \frac{h}{n} \right\rfloor de sorte que n \leq \frac{h}{a} \leq n+1 on a na \leq h \leq (n+1)a, et donc 0 \leq h - na < a h -na \in H car h \in H et na \in H Et si n -na \neq 0, on aurait 0 < h-na < a = inf(H \cap \mathbb{R}^{+*}) ce qui est absurde. D'où h = na \in a\mathbb{Z}, et donc H \subset a\mathbb{Z}

• a = 0 On veut voir que H est partie dense d'un espace métrique dans \mathbb{R}. Fixons x \in \mathbb{R} et r > 0. Il existe une suite (h_{n})_{n \in \mathbb{N}} d'éléments de H \cap \mathbb{R}^{+*} tels que h_{n} \to 0 En particulier, \exists N \in \mathbb{N},\quad \forall n \geq N,\quad 0 < h_{n} < r Posons k = \left\lfloor \dfrac{x}{h_{n}} \right\rfloor de sorte que k \leq \dfrac{x}{h_{n}} < k+1 Donc k \cdot h_{n} \leq x < (k+1)\cdot h_{n} Comme h_{n} \in H, on sait que k\cdot h_{n} \in H et |x - kh_{n} | < |(h+1)h_{n} - kh_{n}| = h_{n} < r donc kh_{n} \in H \cap B_{\mathbb{R}}(x, r) ce qui montre que H \cap B_{\mathbb{R}}(x, r) \neq \{ 0 \} et donc H est dense dans \mathbb{R} ^definition

Propriétés

Exemples

• = \mathbb{Z}, 5\mathbb{Z}, \sqrt{ 2 }\mathbb{Z} ou \pi \mathbb{Z} sont des sous-groupes de (\mathbb{R}, +)
• = \mathbb{Z} + \sqrt{ 2 }\mathbb{Z} est un sous-groupe de (\mathbb{R}, +), et il est dense dans \mathbb{R}