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[!definition] partie dense d'un espace métrique Soit (X, d) un espace métrique Une partie A \subset X est dense dans $X$ si et seulement si : \overline{A} = X ^definition

[!definition] autre définition Soit (X, d) un espace métrique Une partie A \subset X est dense dans $X$ si et seulement si : \boxed{\forall x \in X,\quad \forall \varepsilon>0,\quad B_{E}(x, \varepsilon) \cap A \neq \emptyset}

• I Aucun élément de E n'a de voisinage qui ne touche pas H

[!démonstration]- Démonstration de l'équivalence

• Supposons A dense, c'est-à-dire \overline{A} = X Quels que soient p \in X et \varepsilon > 0 Comme \overline{A} = X, on sait que p est adhérent à A, et donc il existe une suite (x_{n})\in A^{\mathbb{N}} d'éléments de A qui converge vers p. Ainsi, pour n assez grand, on a bien x_{n} \in B(p, \varepsilon), ce qui donne bien B(p, \varepsilon) \cap A \neq \emptyset

• Supposons maintenant que \forall x \in X,\quad \forall \varepsilon > 0,\quad B(x, \varepsilon) \cap A \neq \emptyset Ainsi, on sait que l'on peut construire une suite (x_{n}) telle que x_{n} \in B\left( x, \frac{1}{n} \right) \cap A (car cet ensemble n'est pas vide pour n suffisament grand). Or, \frac{1}{n} \xrightarrow{n \to \infty} 0 et \frac{1}{n} >0 pour n \in \mathbb{N}^{*}, ainsi x_{n} \xrightarrow{n \to \infty} x Comme cela est vrai pour tout x \in X, on a montré que tout point de X est la limite d'une suite d'éléments de A. De là il appert que \overline{A} = X

Propriétés

Exemples

[!example] Dans \mathbb{R}

• \mathbb{Q} est une partie dense de \mathbb{R}
• \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} est une partie dense de \mathbb{R}