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- "[[morphisme]]"
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- s/maths/algèbre
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> [!definition] Définition
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> Soient $A$ et $B$ deux [[anneau|anneaux]]
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> $f : A \to B$ est un **morphisme d'anneaux** si :
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> - $\forall a, b \in A,\quad \begin{cases} f(a+b) = f(a) + f(b)\\ f(ab) = f(a)f(b) \end{cases}$
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> - $f(1_{A}) = 1_{B}$
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^definition
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# Propriétés
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> [!proposition]+ préservation des idéaux
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> Soit $f: A \to B$ un morphisme d'anneaux
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> $J$ [[idéaux d'un anneau|idéal]] de $B \implies f^{-1}(J) \text{ idéal de } A$
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> $I$ [[idéaux d'un anneau|idéal]] de $A \implies f(I) \text{ idéal de } B$
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> > [!démonstration]- Démonstration
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> > - Supposons $J$ [[idéaux d'un anneau|idéal]] de $B$
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> > Alors $f^{-1}(J) < (A, +)$
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> > Soient $i \in f^{-1}(J)$ et $a \in A$
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> > $f(ai) = \underbrace{f(a)}_{\in B} \underbrace{f(i)}_{\in J}$
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> > $ai \in f^{-1}(J)$
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> > donc c'est un idéal
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> >
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> > - Supposons $I$ [[idéaux d'un anneau|idéal]] de $A$
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> > $f(I) < B$
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> > Soit $j \in f(I)$
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> > $\exists i \in I,\quad j = f(i)$
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> > $\vdots$
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>
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> > [!corollaire]+ Le noyau est un idéal
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> > Soit $f : A \to B$ un morphisme d'anneaux
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> > Alors $\ker f$ le [[noyau d'un morphisme de groupes|noyau]] de $f$ est un [[idéaux d'un anneau|idéal]]
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> >
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> > > [!proposition]- Cas particulier sur $\mathbb{Z}$
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> > > Soit $(A, +, \cdot)$ un [[anneau]]
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> > > Soit $f : \mathbb{Z} \to A$ un morphisme donné par :
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> > > $\begin{cases} f(1) = 1_{A} \\ f(n) = n \times 1_{A} \end{cases}$
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> > >
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> > > > [!example] Exemple 1
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> > > > $A = \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$
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> > > > $\begin{align} f : \mathbb{Z} &\to \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \\ p &\mapsto \overline{p} \end{align}$
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> > > > alors $\ker f = n\mathbb{Z}$ et donc $\mathrm{Car}(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}) = n$
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> > >
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> > > > [!example] Exemple 2
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> > > > $A = \mathbb{R}$
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> [!proposition]+ L'image est un sous anneau
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> Soit $f : A \to B$ un morphisme d'anneaux
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> $\operatorname{Im}f$ est un [[sous anneau]] de $B$
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# Exemples
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