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up:: intégration, intégrale de lebesgue #s/maths/intégration

[!proposition] intégrale d'une somme Soient f et g des fonctions fonction mesurable positives \displaystyle \int _{E} (f+g) \, d\mu = \int _{E} f \, d\mu + \int _{E} g \, d\mu

[!démonstration]- Démonstration Soit (f_{n})_{n} une suite croissante de fonction étagée positive telle que f_{n} \xrightarrow{n \to \infty} f Soit (g_{n})_{n} une suite croissante de fonction étagée positive telle que g_{n} \xrightarrow{n \to \infty} g

Par le théorème de convergence monotone des intégrales, on peut déduire : \displaystyle \int _{E} (f_{n} + g_{n}) \, d\mu = \int _{E} f_{n} \, d\mu \int _{E} g_{n} \, d\mu et donc : \displaystyle\int_{E} (f+g) \, d\mu = \int _{E} g \, d\mu

[!corollaire]+ intégrale d'une somme infinie Soit (f_{n})_{n} une suite de fonctions fonction mesurable positives \displaystyle \int_{E} \left(\sum\limits_{n=0}^{+\infty} f_{n} \right) \, d\mu = \sum\limits_{n=0}^{+\infty} \left(\int_{E} f_{n} \, d\mu \right) \in \overline{\mathbb{R}}

[!démonstration]- Démonstration Il suffit de se rendre compte que N \mapsto \sum\limits_{n=0}^{N} f_{n} est une suite de fonctions mesurables à valeurs dans \overline{\mathbb{R}}^{+}. On peut ensuite utiliser le théorème de convergence monotone des intégrales