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[!definition] Division euclidienne Soient a\in\mathbb{Z} et b\in\mathbb{N}^*, il existe des entiers (q,r)\in\mathbb{Z} tels que \fbox{a = bq+r} avec 0\leq r\leq b On montre que le couple (q, r) est division euclidienne#Unicité du quotient et du reste. On appelle q le quotient, et r le reste, de la division de a par b

Propriétés

• b divisibilité a ssi. le reste de a divisé par b est nul (r=0)

Démonstrations

Unicité du quotient et du reste

On utilise une démonstration par l'absurde. Soit a\in\mathbb{Z} et b\in\mathbb{N}^* On suppose qu'il existe q, r et q', r' deux quotients et restes tels que :

• (q, q')\in\mathbb{Z}^2
• (r, r')\in\mathbb{N}^2
• r \in [\![ 0; b[\![ et r'\in[\![0; b'[\![