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sr-due: 2023-06-15
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sr-interval: 239
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sr-ease: 312
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up: "[[dérivation]]"
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tags: "#s/maths/analyse"
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> [!definition] Notation
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> - $f^{(0)}=f$
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> - $f^{(n)} = (f^{(n-1)})'$ si cette dérivée existe
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# Propriétés
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- prop Si $f^{(n)}$ existe, alors toutes les dérivées d'ordre inférieur existent
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- prop $\left(f^{(p)}\right)^{(q)} = f^{(p+q)}$
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> [!proposition]+ Ordre
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> Dans $f^{(n)}$, on appelle **ordre** de dérivation la valeur de $n$
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>
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> - = $f^{(5)}$ est une dérivée d'**ordre 5**
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> [!proposition]+ Linéarité des dérivées successives
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> Soient $f, g \in \mathcal{D}^{n}$ des fonctions $n$ fois dérivables
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> Soit $k \in \mathbb{R}$ quelconque
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> On a $(k\cdot f +g) \in \mathcal{D}^{n}$ et l'égalité suivante :
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> $\boxed{(x\cdot f+g)^{(n)} = k\cdot f^{(n)} + g^{(n)}}$
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> Par ailleurs, si $g$ ne s'annule pas, on a :
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> $\frac{f}{g} \in \mathcal{D}^{n}$
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> [!proposition]+ Formule de Leibniz
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>
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> $\displaystyle(f\times g)^{(n)} = \sum_{k=0}^n \left( \binom{n}{k}f^{(k)}\times g^{(n-k)} \right)$
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>
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> > [!example]- Exemple
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> > $h(x) = x^2 \times e^{3x}, \mathscr D_f = \mathbb R$
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> > On pose $f(x) = x^2$ et $g(x) = e^{3x}$
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> > - $f^{(0)}=x^2$
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> > - $f^{(1)}=2x$
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> > - $f^{(2)} = 2$
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> > - $f^{(n)}(x) = 0$ pour $n\geq 3$
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> > et
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> > - $g^{(0)} = e^{3x}$
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> > - $g^{(1)}=3e^{3x}$
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> > - $g^{(2)}=9e^{3x}$
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> > - $\vdots$
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> > - $g^{(n)}=3^n \cdot e^{3x}$
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> >
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> > Donc:
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> > $$\begin{align}
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> > h^{(4)}(x) &= \sum_{k=0}^4 \left( \binom4k \cdot f^{(k)}(x) \cdot g^{(4-k)}(x) \right)\\[2ex]
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> > &= x^2 \cdot 81e^{3x} + 4 \cdot 2x \cdot 27e^{3x} + 6 \cdot 2 \cdot 9e^{3x} + 0\\[1ex]
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> > &= 27e^{3x}\left( 3x^2 + 8x + 4 \right)
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> > \end{align}$$
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