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up: "[[boule]]"
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sibling: "[[boule fermée]]"
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tags: "#s/maths/algèbre"
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> [!definition] [[boule ouverte]]
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> Soit $(X, d)$ un [[espace métrique]], on appelle **boule ouverte** de centre $x_0 \in X$ et de rayon $r \geq 0$ la partie $B(x_0, r)$ de $X$ définie par :
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> $B(x_0, r) = \{ x \in X \mid d(x_0, x) < r \}$
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^definition
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> [!example] Exemple avec la [[distance euclidienne]]
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> ![[boule ouverte 2024-09-09 10.28.55.excalidraw|300]]
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^example
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> [!idea] autres notations pour les boules ouvertes
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> $B(x_0, r)$, $B_{r}(x_0)$, $B_{x_0}(r)$, $B^{o}_{r}(x_0)$
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# Propriétés
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> [!proposition]+ Toute boule ouverte est ouverte
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> Soit $(X, d)$ un [[espace métrique]]
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> $B(x_0, r) = \{ y\in X \mid d(x_0, x) < r\}$ est un ouvert de $X$
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> > [!démonstration]- Démonstration
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> > Soit $x \in B(x_0, r)$
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> > si $r_{x} = r - d(x_0, x) > 0$
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> > on va voir que $B(x, r_{x}) \subset B(x_0, r)$
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> > En effet, si $y \in B(x, r_{x})$, on a :
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> > $d(y, x) < r_{x}$
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> > $d(y, x) < r-d(x_0, x)$
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> > $d(x_0, x) + d(x, y) < r$
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> > $d(x_0, y) < r$ par inégalité triangulaire
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> > et donc $y \in B(x_0, r)$
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> > On a bien montré $B(x, r_{x}) \subset B(x_0, r)$
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>
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> [!proposition]+ Diamètre
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> Soit $(X, d)$ un [[espace métrique]]
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> Le [[diamètre]] d'une boule ouverte respecte :
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> $\mathop{Diam}(B(p, r)) \leq 2r$
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> [!proposition]+ conditions pour l'inclusion
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> Soit $(X, d)$ un [[espace métrique]]
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> Soient $x_0, y_0 \in X$ et $r, r' \in \mathbb{R}^{+*}$
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> On a :
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> $B(x_0, r) \subset B(y_0, r')$ pour $r' \geq r + d(x_0, y_0)$
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> [!proposition]+ Les boules ouvertes génèrent les ouverts
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> Soit $(X, d)$ un [[espace métrique]]
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> Tout ouvert de $X$ est une réunion de boules ouvertes.
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> Autrement dit :
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> Pour tout $O \subset X$ ouvert,
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> il existe $(p_{i}) \in X^{\mathbb{N}}$ et $(r_{i}) \in {\mathbb{R}^{+}}^{\mathbb{N}}$ tels que :
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> $\displaystyle O = \bigcap _{i \in \mathbb{N}} B(p_{i}, r_{i})$
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# Exemples
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- = Voir [[Exemples de boules]]
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