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up::[[courbe paramétrée]]
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#s/maths/algèbre
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Soit une [[courbe paramétrée]] $f: t \mapsto M(t)$
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Lorsque la courbe approche sa tangente en un point $t_0$, la courbe peut être positionée de plusieurs manières par rapport à sa tangente :
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- **point d'allure ordinaire** :![[courbe paramétrée - point d'allure ordinaire.excalidraw|300]]
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- **point d'inflexion** : ![[courbe paramétrée - point d'inflexion.excalidraw|300]]
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- **rebroussement de première espèce** : ![[courbe paramétrée - rebroussement de première espèce.excalidraw|300]]
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- **rebroussement de seconde espèce** :![[courbe paramétrée - rebroussement de seconde espèce.excalidraw|300]]
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**Note :** rebroussements
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Intuitivement, un rebroussement ne peut être qu'en un [[point stationnaire d'une courbe paramétrique|point stationnaire]], car en un point où la "vitesse" est non nulle, on continue son chemin dans le même sens.
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# Déterminer la position de la tangente
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Soit $f: t\mapsto (x(t); y(t))$ une [[courbe paramétrée]]
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Pour trouver la position de la tangente en $t_0$ à $f$, on calcule le [[développement limité]] de $x$ et $y$ au voisinage de $t_0$
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Si on suppose que $t_{0} = 0$, on a :
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$M(t) = M(0) + t^{p}\vec{v} + t^{q}\vec{w} + t^{q}\vec{\epsilon}(t)$
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où :
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- $(p, q)\in\mathbb{N}^{2}$ et $p < q$
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- $\vec{v}$ et $\vec{w}$ sont des [[vecteur|vecteurs]] non [[vecteurs colinéaires|colinéaires]]
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- Ils sont une [[base d'un espace vectoriel]] puisque l'on est en dimension 2
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- $\vec{\epsilon}(t)$ est un [[vecteur]] tel que $\displaystyle\lim_{t\rightarrow t_{0}} (||\vec{\epsilon}(t)||) = 0$
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En un tel point $M(0)$, la courbe $\mathscr C$ admet une tangente, dont un [[vecteur directeur]] est $\vec{v}$
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La position de $\mathscr C$ par rapport à cette tangente est donnée par la [[parité]] de $p$ et $q$ :
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![[courbe paramétrée - point d'allure ordinaire - parité.excalidraw]]
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![[courbe paramétrée - point d'inflexion - parité.excalidraw]]
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![[courbe paramétrée - rebroussement de première espèce - parité.excalidraw]]
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![[courbe paramétrée - rebroussement de seconde espèce - parité.excalidraw]]
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