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aliases:
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- associé
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- associés
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up:
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- "[[polynôme]]"
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tags:
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- s/maths/algèbre
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> [!definition] Définition
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> Soit $A$ un [[anneau]]
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> Soient $P, Q \in A[X]$ deux [[polynôme|polynômes]]
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> On dit que $P$ et $Q$ sont **associés** si :
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> $\boxed{\exists a \in A^{*},\quad P = aQ}$
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> (où $A^{*}$ est l'[[ensemble des éléments inversibles d'un anneau|ensemble des éléments inversibles]] de $A$)
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^definition
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> [!idea] intuition
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> Deux polynômes sont associés si ils sont liés par un facteur qui est aussi un inversible (dans son anneau)
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# Propriétés
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> [!proposition]+
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> La relation "être associé" est une [[relation d'équivalence]]
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> [!proposition]+
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> Un polynôme $P \neq 0$ est associé à un unique [[polynôme unitaire]]
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# Exemples
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> [!example] Dans $\mathbb{Z}/7\mathbb{Z}[X]$
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> Soient $P = \overline{5}X + \overline{3}$ et $Q = -X + \overline{5}$
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> alors $P$ et $Q$ sont associés car :
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> $\overline{4} P = Q$ (et car $\overline{4}$ est inversible dans $\mathbb{Z}/7\mathbb{Z}$)
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