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alias: "cycle"
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up::[[permutation]]
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#s/maths/algèbre
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> [!definition] [[k-cycle]]
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> Soit $k \geq 2$
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> On dit qu'une [[permutation]] $\sigma \in \mathfrak{S}_{n}$ est un **cycle de longueur $k$**, ou un $k$-cycle, s'il existe $k$ éléments **distincts** $a_1,\dots, a_{k} \in \{ 1,\dots, n \}$ tels que :
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> - $\sigma(a_i) = a_{i+1}$ pour $i \in \{ 1,\dots, k-1 \}$
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> - $\sigma(k) = a_1$
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> - $\sigma(a) = a$ dès que $a \notin \{ a_1 ,\dots, a_{k} \}$
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> > [!info] Notation
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> > On note $\sigma = (a_1, a_2,\dots, a_{k})$
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> > - ! pour un cycle donné, l'écriture ci-avant n'est pas unique : $(a_1,\dots, a_{k}) = (a_2,\dots,a_{k},a_1) = (a_{k}, a_1,\dots, a_{k-1}) = \dots$
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^definition
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# Propriétés
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> [!proposition]+ orbite
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> Un $k$-cycle est une [[permutation]] ayant une unique [[orbites du groupe symétrique|orbite]] non triviale ; les éléments de l'orbite correspondent au [[support d'une permutation|support]] du $k$-cycle (les $a_1,\dots, a_k$)
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> [!proposition]+ inverse
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> $(a_1,\dots,a_{k})^{-1} = (a_1, a_{k}, a_{k-1},\dots, a_2)$
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> > [!démonstration]- Démonstration
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> > Si $\sigma = (a_1,\dots, a_{n})$
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> > alors $\sigma(a_{i}) = a_{i+1}$ et $\sigma(a_{k}) = a_1$
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> > Donc $\sigma ^{-1}(a_{i}) = a_{i-1}$ et $\sigma ^{-1}(a_{1}) = a_{k}$
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> >
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