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up::[[droite vectorielle]]
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title::"$D_{1} = D_{1}$ ou $D_{1} \cap D_{2} = \{ 0_{E} \}$"
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outdescription::"deux droites vectorielles sont confondues ou ont pour intersection $0_{E}$"
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#t/démonstration #s/maths/algèbre
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On veut montrer que deux [[droite vectorielle|droites vectorielles]] sont soit confondues, soit d'intersection le [[vecteur nul]].
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Soient $\overrightarrow{D_{1}}=Vect(\vec{e_{1}})$ et $\overrightarrow{D_{2}}=Vect(\vec{e_{2}})$ deux [[droite vectorielle|droites vectorielles]]
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On appelle $\overrightarrow{F}=\overrightarrow{D_{1}}\cap\overrightarrow{D_{2}}$ l'intersection de ces deux droites
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On sait que l'[[intersection de sous espaces vectoriels]] est un [[sous espace vectoriel]], donc $0 \in F$
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Alors :
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- Soit $\left( \vec{e_{1}}, \vec{e_{2}}\right)$ est [[famille de vecteurs liée|liée]]
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- Alors $\overrightarrow{D_{1}}=Vect(\vec{e_{1}})=Vect(\vec{e_{2}})=\overrightarrow{D_{2}}$ et les deux droites sont confondues
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- Soit $(\vec{e_{1}}, \vec{e_{2}})$ est [[famille de vecteurs libre|libre]]
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- Alors :
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- Si $\vec{u}\in\overrightarrow{D_{1}}\cap\overrightarrow{D_{2}}$
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- il existe deux réels $\lambda_{1}$ et $\lambda_{2}$ de sorte que $\vec{u}=\lambda_{1}\vec{e_{1}}$
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- $\lambda_{1}\vec{e_{1}}-\lambda_{2}\vec{e_{2}}=\vec{0}$ mais la famille $(\vec{e_{1}},\vec{e_{2}})$ est [[famille de vecteurs libre|libre]]
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- donc : $\lambda_{1}=0=\lambda_{2}$
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- et donc : $\vec{u}=0$
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- alors $\overrightarrow{D_{1}} = \overrightarrow{D_{2}}$
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On à donc :
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Deux droites vectorielles $\overrightarrow{D_{1}}$ et $\overrightarrow{D_{2}}$ sont :
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- **confondues** si $(\vec{e_{1}}, \vec{e_{2}})$ est [[famille de vecteurs liée|liée]]
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- d'intersection réduite au [[vecteur nul]] si $(\vec{e_{1}},\vec{e_{2}})$ est [[famille de vecteurs libre|libre]]
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