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aliases:
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- intègre
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up:
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- "[[anneau]]"
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tags:
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- s/maths/algèbre
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> [!definition] Définition
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> Soit $(A, +, \times)$ un [[anneau]]
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> On dit que cet anneau est **intègre** si :
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> $\forall a, b \in A,\quad a b = 0 \implies a = 0 \vee b = 0$
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^definition
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> [!idea] intuition
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> Un anneau est **intègre** si il respecte :
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> "un produit est nul si et seulement si un de ses facteurs est nul"
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# Propriétés
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> [!proposition]+
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> Soient $a, b, \in A$ tels que $ab = 0$
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> si $a \neq 0$ alors $b = 0$
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>
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> > [!démonstration]- Démonstration
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> > si $ab = 0$ et $a \neq 0$ alors :
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> > $a^{-1} a b = 0$ et donc $b = 0$
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> [!proposition]+
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> Soient $a, b, c \in A$
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> On suppose $c \neq 0$, alors :
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> $ac = bc \implies a = b$
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> > [!démonstration]- Démonstration
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> > $ac = bc \implies (a-b)c = 0 \implies a = b$ puisque $c \neq 0$
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# Exemples
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