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up:: statistiques indices de dispersion #s/maths/statistiques

[!definition] Définition Soit X une variable aléatoire réelle On note V(X) la variance de X : \begin{align} V(X) &:= \mathbb{E}((X - \mathbb{E}(X))^{2}) \\&= \mathbb{E}(X^{2}) - \mathbb{E}(X)^{2} & \text{(formule de cunning)} \end{align} ^definition

[!definition] Variance Soit X une variable aléatoire On note V(X) la variance de X : V(X) = \frac{1}{n}\sum\limits_{i} \big( n_{i} (x_{i} - \overline{X})^{2} \big) = \overline{X^{2}} -\overline{X}^{2} La moyenne des carrés des écart à la moyenne

[!definition] Variance - APL ((+/÷≢)2*⍨⊢-(+/÷≢))

Propriétés

• V(aX + b) = a^{2}V(X)

[!proposition]+ variance d'une somme Soient X_1, \dots, X_{n} des variable aléatoire réelle de L^{2} avec n \geq 1 \boxed{\mathbb{V}\left( \sum\limits_{i = 1}^{n} X_{i} \right) = \sum\limits_{i = 1}^{n} \mathbb{V}(X_{i}) + 2 \sum\limits_{1 \leq i < j \leq n} \operatorname{cov}(X_{i}, X_{j})} En particulier, si X_1, \dots, X_{n} sont 2 à 2 covariance#^corellation (par exemple si elles sont indépendantes) : \mathbb{V}\left( \sum\limits_{i = 1}^{n} X_{i} \right) = \sum\limits_{i = 1}^{n} \mathbb{V}(X_{i})

[!démonstration]- Démonstration \begin{align} \mathbb{V}\left( \sum\limits_{i = 1}^{n} X_{i} \right) &= \operatorname{cov}\left( \sum\limits_{i = 1}^{n} X_{i}, \sum\limits_{j = 1} ^{n} X_{j} \right) \\&= \sum\limits_{i = 1}^{n} \sum\limits_{j = 1}^{n} \operatorname{cov}(X_{i}, X_{j}) \\&= \sum\limits_{i = 1}^{n} \mathbb{V}(X_{i}) + \sum\limits_{\substack{1 \leq i \leq n \\ 1 \leq j \leq n \\ i \neq j}} \operatorname{cov(X_{i}, X_{j})} \\&= \sum\limits_{i = 1}^{n} \mathbb{V}(X_{i}) + 2 \sum\limits_{1 \leq i < j \leq n} \operatorname{cov}(X_{i}, X_{j}) \end{align}

[!proposition]+ Variance d'une moyenne Soient X_1, X_{2}, \dots des v.a.r. indépendantes toutes de même loi dans L^{2} On pose \overline{X_{n}} = \frac{1}{n} \sum\limits_{i = 1}^{n} X_{i} Alors : \boxed{\mathbb{V}(\overline{X_{n}}) = \frac{1}{n} \mathbb{V}(X_1)}

[!démonstration]- Démonstration \begin{align} \mathbb{V}(\overline{X_{n}}) &= \frac{1}{n^{2}} \mathbb{V}\left( \sum\limits_{i = 1}^{n} X_{i} \right) \\&= \frac{1}{n^{2}} \sum\limits_{i = 1}^{n} \underbrace{\mathbb{V}(X_{i})}_{\substack{=\mathbb{V}(X_{1}) \\ \text{ car même loi}}} & \text{par indépendance des } X_{i} \\&= \frac{1}{n^{2}} \cdot n \mathbb{V}(X_{1}) \\&= \frac{1}{n} \mathbb{V}(X_1) \end{align}

Exemples

[!example] Exemple : lois de Poisson Soit X \sim \mathcal{P}(\lambda) avec \lambda \geq 0 on a vu que \mathbb{E}(X) = \lambda \vdots