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alias
| alias |
|---|
| algèbre |
up::structure algébrique
title::$\mathbf{K}$-espace vectoriel muni d'une 2$^{\text{ème}}$ loi de composition interne qui forme un monoïde
description::"(A,+,\circ,\cdot) est une algèbre ssi :", " - (A,+,\cdot) est un espace vectoriel", " - (A, \circ) est un monoïde"
#s/maths/algèbre
Soit un ensemble A
(A, +, \circ, \cdot) est une algèbre ssi :
- (A, +, \cdot) forme un espace vectoriel
- (A, +) forme un groupe abélien
- \cdot est une loi externe distributivité sur +
- (A, \circ) forme un monoïde
[!definition] $\mathbb{R}$-algèbre Une $\mathbb{R}$-algèbre est un $\mathbb{R}$-espace vectoriel
Emuni d'une loi\cdot : \mathbf{E} \times \mathbf{E} \to Etelle que\cdotforme bilinéaire :\forall x, y, z \in E, \quad \forall \lambda \in \mathbb{R}, \quad (x+\lambda y)\cdot z = (x\cdot z) + \lambda (y\cdot z)\forall x, y, z \in E, \quad \forall \lambda \in \mathbb{R}, \quad z\cdot(x+\lambda y) = (z\cdot x) + \lambda (z\cdot y)^definition
[!example] Exemples
E = \mathcal{C}([0, 1], \mathbb{R})muni du produit classique de fonction(f\cdot g)(t) = f(t)\cdot g(t)est une algèbre\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})munie du produit de matrices est une $\mathbb{R}$-algèbre
^example