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2022-10-28	83	212	continue fonction continue	fonction	#s/maths/analyse

[!definition] application continue Soient (X, d_{x}) et (Y, d_{y}) deux espace métrique Soit f: X \to Y une application Soit a \in X On dit que f est continue en $a$ si : \exists \varepsilon>0,\quad \exists \eta>0,\quad \forall x \in X,\quad d_{x}(x, a) < \eta \implies d_{y}(f(x), f(a)) < \varepsilon ^definition

• i On note \mathcal{C}(E, F) l'ensemble des fonctions continues de E \to F

[!definition] Fonction continue dans \mathbb{R} Soit I \subset \mathbb{R} Soit f: I \to R Soit a \in I

• f est continue en $a$ ssi :

  • \forall \varepsilon>0, \exists\eta > 0, \forall x\in I, (|x-a| < \eta \implies |f(x) - f(a)| < \epsilon)

• f est continue sur $I$ ssi :

  • \forall x \in I, \forall \varepsilon > 0, \exists \eta > 0, \forall y \in I, |x-y| \leq \eta \implies |f(x)-f(y)| \leq \varepsilon

• I f est continue en a si la limite de f en a est égale à f(a) ^e9fb87

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Propriétés

[!proposition]+ Soient (X, d_{x}) et (Y, d_{y}) deux espace métrique Soit f: X \to Y une application Soit a \in X On a équivalence entre :

• f continue en a
• \forall (x_{n})_{n} \in X^{\mathbb{N}} suite convergente vers a, \lim\limits_{ n \to \infty } f(x_{n}) = f(a)

[!démonstration]- Démonstration

• supposons f continue en a Soit (x_{n})_{n \in \mathbb{N}} une suite d'éléments de X qui converge vers a On veut montrer que \lim\limits_{ n \to \infty } f(x_{n}) = f(a), donc que : \forall \varepsilon>0,\quad \exists N \in \mathbb{N},\quad \forall n \geq N,\quad d_{y}(f(x_{n}), f(a)) < \varepsilon On sait que f est continue en a, donc qu'il existe \eta >0 tel que : \forall x \in X,\quad d_{x}(x, a) < \eta \implies d_{y}(f(x), f(a)) < \varepsilon \quad (1) mais on sait aussi que x_{n}\to a En appliquant la propriété (1) à x = x_{n}, on sait qu'il existe N \in \mathbb{N} tel que \forall n \geq N,\quad d_{x}(x_{n}, a) < \eta Donc \forall n \geq N,\quad d_{y}(f(x_{n}), f(a)) < \varepsilon \varepsilon étant quelconque, on a montré que \forall \varepsilon>0,\quad \exists N\in\mathbb{N},\quad \forall n \geq N,\quad d(f(x_{n}), f(a)) < \varepsilon c'est-à-dire f(x_{n}) \xrightarrow{n \to \infty} f(a)

• Pour montrer la réciproque, on va travailler par contraposée. On cherche alors à montrer : f n'est pas continue en a \implies il existe une suite (x_{n})_{n\in\mathbb{N}} qui converge vers a mais telle que f(x_{n}) \centernot{\xrightarrow{n \to \infty}} f(a) f n'est pas continue en a \iff \exists \varepsilon>0,\quad \forall \eta>0,\quad \exists x \in X,\quad d_{x}(x, a) < \eta \wedge d_{y}(f(x), f(a)) \geq \varepsilon Pour un tel \varepsilon>0, prenons :

  • \eta = \frac{1}{n+1} \mid_{n \in \mathbb{N}}
  • x_{n} \in X tel que \begin{cases} d_{x}(x_{n}, a) < \frac{1}{n+1} \\ d_{y}(f(x_{n}), f(a))\geq \varepsilon \end{cases} On a d_{x}(x_{n}, a) \xrightarrow{n \to \infty} 0, donc x_{n} \xrightarrow{n \to \infty} a Mais f(x_{n}) \centernot{\xrightarrow{n \to \infty}} f(a), car sinon il existerait N\in\mathbb{N} tel que \forall n\geq N,\quad d_{y}(f(x_{n}), f(a))\leq \varepsilon, ce qui est impossible.

[!proposition]+ On a équivalence entre :

1. f est continue
2. \forall V partie ouverte d'un espace métrique de Y,\quad f^{-1}(V) est ouvert dans X
3. \forall F partie fermée d'un espace métrique de Y,\quad f^{-1}(F) est fermé de X

• ! f(V) n'est pas nécessairement ouvert, et f(F) n'est pas nécessairement fermé

[!démonstration]- Démonstration

• 2. \implies 3. Si F est un fermé de Y, alors : Y \setminus F est un ouvert de Y donc f^{-1}(Y \setminus F) est un ouvert de X or, f^{-1}(F) = X \setminus \underbrace{f^{-1}(Y\setminus F)}_{\text{ouvert}} donc f^{-1}(F) est un fermé de X
• 3. \implies 2. On procède de la même manière que pour le point précédent
• 1. \implies 2. Soit V ouvert de Y
  • Si V = \emptyset, alors f^{-1}(V) = \emptyset est un ouvert de X
  • Si V \neq \emptyset, alors soit a \in f^{-1}(V) quelconque, comme V est ouvert, \exists \varepsilon>0,\quad B_{y}(f(a), \varepsilon) \subset V Mais comme f est continue en a, il existe \eta>0 tel que \forall x \in X,\quad d(x, a) < \eta \implies d(f(x), f(a)) < \varepsilon, c'est-à-dire : \exists \eta>0,\quad \forall x \in X,\quad x \in B_{X}(a, \eta) \implies f(x) \in B(Y)(f(a), \varepsilon) autrement dit \forall x \in B_{X}(a, \eta),\quad f(x) \in B_{Y}(f(a), \varepsilon) donc \forall x \in B_{X}(a, \eta),\quad f(x) \in V et donc B_{X}(a, \eta) \subset f^{-1}(V) On a montré que : \forall a \in f^{-1}(V),\quad \exists \eta >0,\quad B_{X}(a, \eta) \subset f^{-1}(V) c'est-à-dire que f^{-1}(V) est ouvert.
• 2. \implies 1. Soient a \in X et \varepsilon>0 quelconques B_{Y}(f(a), \varepsilon) est un ouvert de Y f^{-1}(B_{Y}(f(a), \varepsilon)) est un ouvert de X En particulier, \exists \eta>0,\quad B_{X}(a, \eta) \subset f^{-1}(B_{Y}(f(a), \varepsilon)) cela signifie que \forall x \in B_{X}(a, \eta),\quad f(x) \in B_{Y}(f(a), \varepsilon) soit que \forall x \in X,\quad d_{x}(x, a) < \eta \implies d_{Y}(f(x), f(a)) < \varepsilon Comme \varepsilon et a sont quelconques, on a montré que f est continue.

[!corollaire] Corollaire Si f: X \to Y et g: Y \to Z sont deux applications continues, alors g \circ f est continue.

• I si f est continue en a \in X et g est continue en f(a), alors (g \circ f) est continue en a

[!démonstration]- Démonstration En effet, pour n'importe quel ouvert V de Z g^{-1}(V) est un ouvert de Y car g est continue (g \circ f)^{-1}(V) = f^{-1}(g^{-1}(V)) est un ouvert de X car f est continue Donc, pour n'importe quel ouvert V de Z : (g \circ f)^{-1}(V) est ouvert, c'est-à-dire que g \circ f est continue

[!proposition]+ Toute fonction continue est mesurable Soient (E, \mathcal{A}) et (F, \mathcal{B}) deux espace mesurable Toute fonction continue de E \to F est mesurable

[!proposition]+ Continuité et distance produit Soient (X, d), (Y_1, \delta_1) et (Y_2, \delta_2) des espace métrique Soit D la distance produit sur Y_1 \times Y_2 Soit f = (f_1, f_2) : (X, d) \to (Y_1 \times Y_2, D) une application Soit x \in X f est continue en x \iff f_1 et f_2 sont continues en X

[!démonstration]- Démonstration Soit (x_{n}) un suite de X avec \lim\limits_{ n \to \infty }x_{n} = x On a f(x_{n}) = (f_1(x_{n}), f_2(x_{n})) Ainsi D(f(x_{n}), f(x)) = D((f_1(x_{n}), f_2(x_{n})), (f_1(x), f_2(x))) = \max(d_1(f_1(x_{n}), f_1(x)), d_2(f_2(x_{n}), f_2(x))) Ainsi

[!proposition]+ Soit u : [a, b] \to F une fonction continue Alors \displaystyle\left\|\int_{a}^{b} u(t) \, dt\right\| \leq \int_{a}^{b} \|u(t)\| \, dt

[!démonstration]- Démonstration u est continue donc son intégrale est al limite des sommes de riemann \displaystyle \int_{a}^{b} u(t) \, dt = \lim\limits_{ n \to \infty } \left( \frac{b-a}{n} \sum\limits_{k=1}^{n} u\left( a+k \frac{b-a}{n} \right) \right) par l'inégalité triangulaire, on a : \displaystyle \left\| \frac{b-a}{n} \sum\limits_{k=1}^{n} u\left( a+k \frac{b-a}{n} \right) \right\| \leq \frac{b-a}{n} \sum\limits_{k=1}^{n} \left\|u\left( a+k \frac{b-a}{n} \right)\right\| La norme étant continue, on obtient en passant à la limite n \to \infty : \displaystyle \left\|\int_{a}^{b} u(t) \, dt\right\| \leq \int_{a}^{b} \|u(t)\| \, dt

Sur les applications linéaires

application linéaire continue

Exemples