cours/ensemble récursif primitif.md

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		récursif primitif

[!definition] ensemble récursif primitif Un ensemble est dit récursif primitif si sa fonction caractéristique d'un ensemble ^definition

Propriétés

Propriétés de clôture

[!proposition]+ Si A \subseteq \mathbb{N}^{n} est ensemble récursif primitif et si f_1, f_2, \dots, f_{n} \in \mathscr{F}_{p} sont récursives primitives Alors l'ensemble : \{ (x_1, x_2, \dots, x_{p}) \mid (f_1(x_1, x_2, \dots, x_{p}), f_2(x_1, x_2, \dots, x_{p}), \dots, f_{n}(x_1, x_2, \dots, x_{p})) \in A \} est aussi récursif primitif (sa fonction caractéristique est \chi _{A}(f_1, f_2, \dots, f_{n}))

De cela il suit directement que les ensembles suivants sont récursifs primitifs dès que f, g \in \mathscr{F}_{p} :

• \{ (x_1, x_2, \dots, x_{p}) \mid f(x_1, x_2, \dots, x_{p}) > g(x_1, x_2, \dots, x_{p}) \}
  • et en particulier \{ (x_1, x_2, \dots, x_{p}) \mid f(x_1, x_2, \dots, x_{p}) > 0 \}
• \{ (x_1, x_2, \dots, x_{p}) \mid f(x_1, x_2, \dots, x_{p}) = g(x_1, x_2, \dots, x_{p}) \}
• \{ (x_1, x_2, \dots, x_{p}) \mid f(x_1, x_2, \dots, x_{p}) < g(x_1, x_2, \dots, x_{p}) \}

[!proposition]+ Cloture par opérations booléennes Soit p \in \mathbb{N} L'ensemble des sous-ensembles récursifs primitifs de \mathbb{N}^{p} est clos pour les opérations booléennes : Si A, B \subseteq \mathbb{N}^{p} sont récursifs primitifs, alors A \cap B, A \cup B et \mathbb{N}^{p} \setminus A le sont aussi

[!démonstration] Démonstration On peut simplement calculer les fonctions caractéristiques de ces ensembles :

• \chi(A \cap B) = \chi(A) \cdot \chi(B)
• \chi(A \cup B) = \operatorname{sg}(\chi(A) + \chi(B))
• \chi(\mathbb{N}^{p} \setminus A) = 1 \dot{-} \chi(A)

Exemples

[!example] \mathbb{N}

• dem Sa fonction caractéristique est la fonction constante de \mathscr{F}_{1} égale à 1

[!example] 2\mathbb{N} (nombres pairs)

• dem sa fonction caractéristique est définie par récurrence par \chi(0) = 1 et \chi(n+1) = 1 \dot{-} \chi (n)

[!example] Ensemble des nombres premiers L'ensemble des nombres premiers est récursif primitif. En effet, x est premier si et seuleemnt si x > 1 et \forall y \leq x,\quad (y \leq 1 \vee y \text{ ne divise pas } x)