cours/morphisme de groupes.md

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sr-due: 2022-09-29
sr-interval: 39
sr-ease: 278
aliases:
  - morphismes
  - morphisme
  - homomorphisme
  - homomorphisme de groupes
up:
  - "[[morphisme]]"
  - "[[groupe]]"
tags:
  - "#s/maths/algèbre"
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> [!definition] [[morphisme de groupes]]
> Soit $(E, *)$ et $(F, \bot)$ deux [[groupe|groupes]]
> Une application $f: (E, *) \to (F, \bot)$ est un **morphisme de groupes** ssi :
> $\forall (x, y) \in E^{2}, \quad  \boxed{f(x*y) = f(x) \bot f(y)}$
^definition

- i On note $\mathrm{Hom}(E, F)$ l'[[ensemble des morphismes de groupes]]
- i On appelle parfois "homomorphismes" les morphismes

# Propriétés

> [!proposition]+ Morphisme trivial
> Le morphisme trivial est le morphisme
> $\begin{align} f : E &\to F\\ x &\mapsto 1_{F} \end{align}$
> Il existe toujours.

> [!proposition]+  composition de morphismes
> Si $f : E \to F$ et $g : F \to G$ sont des morphismes
> Alors $g \circ f : E \to G$ est un morphisme
> > [!démonstration]- Démonstration
> > $\begin{align} (g \circ f) (xy) &= g(f(x y)) \\ &= g(f(x) f(y)) &\text{car } f \text{ est un morphisme} \\ &= g(f(x)) g(f(y)) & \text{car } g \text{ est un morphisme} \\&= (g \circ f)(x) (g\circ f)(y) \end{align}$
> > Donc, $g \circ f$ est bien un morphisme
^composition-morphismes

> [!proposition]+ élément neutre
> Soit $f: E \to F$ un morphisme, on a toujours :
> $f(e_{E}) = e_{F}$
> > [!démonstration]- Démonstration
> > $f(e_{E}) = f(e_{E}e_{E}) = f(e_{E})f(e_{E})$
> > en multipliant à gauche par $f(e_{E})^{-1}$ (qui est bien inversible car $F$ est un groupe) on obtient :
> > $e_{F} = f(e_{E})$

> [!proposition]+ morphisme d'un inverse
> Soit $f: E \to F$ un morphisme, on a :
> $\forall x \in E,\quad f(x ^{-1})  f(x)^{-1}$
> > [!démonstration]- Démonstration
> > Soit $x \in E$
> > On a $f(x ^{-1})f(x) = f(x ^{-1} x) = f(e_{E}) = e_{F}$
> > De la même manière, $f(x)f(x ^{-1}) = e_{A}$
> > On sait alors que l'inverse de $f(x)$ est $f(x ^{-1})$
> > Autrement dit : $f(x) ^{-1}  f(x ^{-1})$

> [!proposition]+ morphisme sur un sous groupe
> Soit $f: G  \to G'$ un morphisme
> 1. Si $H$ est un [[sous groupe]] de $G$, alors $f(H)$ est un [[sous groupe]] de $G'$
>     - $H<G \implies f(H) < G'$
> 2. Si $H'$ est un [[sous groupe]] de $G'$, alors $f^{-1}(H')$ est un [[sous groupe]] de $G$
>     - $H' < G' \implies f^{-1}(H') < G$
> > [!démonstration]- Démonstration
> > 1. On suppose que $H$ est un sous groupe de G
> >     - comme $H$ est un [[sous groupe]] de $G$, on a $e_{G} \in H$.
> >     Puisque $f(e_{G}) = e_{G'}$, on a $e_{G'} \in f(H)$
> >     - Soient $x', y' \in f(H)$. Il existe $(x, y) \in H^{2}$ tel que $f(x) = x'$ et $f(y) = y'$.
> >     Comme $H$ est un sous groupe, on a $xy^{-1} \in H$.
> >     Puisque $f(xy^{-1}) = f(x)f(y^{-1}) = f(x)f(y)^{-1} = x'y'^{-1}$, on a $x'y'^{-1} \in H$
> >     
> >     On peut donc conclure que $H$ est un sous groupe de $G$
> > 2. On suppose que $H'$ est un sous groupe de $G'$
> >     - Comme $H'$ est un sous groupe de $G'$, on a $e_{G'} \in H'$
> >     - On veut montrer que $\forall x \in f^{-1}(H'),\quad x ^{-1} \in f^{-1}(H')$
> >     Soit $x' \in H'$. Il existe $x \in G$ tel que $x = f^{-1}(x')$
> >     $x ^{-1} = (f^{-1}(x'))^{-1} = f^{-1}(x'^{-1})$
> >     Or, $x'^{-1} \in H'$ car $H'$ est un groupe. Donc $f^{-1}(x'^{-1}) \in f^{-1}(H')$
> >     de là suit que $x ^{-1} \in f^{-1}(H')$
> >     

![[noyau d'un morphisme de groupes#^morphisme-injectif-noyau]]

# Exemples

> [!example] Exemple 1
> Si $G$ est un groupe, alors :
> $\begin{align}  \mathrm{id}_{G} : G &\to G\\ g &\mapsto g \end{align}$
> est un [[endomorphisme d'espaces vectoriels]] de $G$
> 

> [!example] Exemple 2
> Soit $k \in \mathbb{Z}$
> $\begin{align} f : \mathbb{Z} &\to \mathbb{Z} \\ n &\mapsto kn \end{align}$
> estun morphisme
> en effet :
> $\begin{align} \forall m, n \in \mathbb{Z},\quad f(m + n) &= k(m + n) \\&= km + kn  \\&= f(m) + f(n)\end{align}$

> [!example] Exemple 3
> pour $k \in \mathbb{Z}$
> $\begin{align} f_{k} : \mathbb{Z} &\to \mathbb{Z}\\ n &\mapsto n +k \end{align}$
> est un morphisme si et seulement si $k = 0$
> en effet :
> - si $k = 0$, alors $f_{k} = \mathrm{id} \in \mathrm{End}(\mathbb{Z})$
> - si $k \neq 0$
> alors $f_{k}(a+b) = a+ b+ k$
> mais $f_{k}(a) + f_{k}(b) = a+ k + b + k = a+ b+ 2k$
> donc, on a $f_{k} (a+b) \neq f_{k}(a) + f_k(b){}$

> [!example] Exemple 4
> $\begin{align}  f : \mathbb{R}^{*} &\to \mathbb{R}^{*} \\ x &\mapsto \frac{1}{x} \end{align}$
> est un morphisme car $\forall x, y \in \mathbb{R}^{*},\quad f(x y) = \frac{1}{xy} = \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{y} = f(x)\cdot f(y)$
> - ! attention à la loi :
> $\begin{align} g : (\mathbb{R}^{*}, \times) &\to (\mathbb{R}^{*}, +)\\ x &\mapsto \frac{1}{x} \end{align}$ 
> n'est **pas** un morphisme, car $\exists, x, y \in \mathbb{R}^{*},\quad g(xy) \neq g(x)+g(y)$ 
> 

> [!example] Exemple 4 bis
> $\exp : \mathbb{R} \to \mathbb{R}^{*}$ est un morphisme, car $e^{x+y} = e^{x}+e^{y}$
> $\log : \mathbb{R}^{*}_{+} \to \mathbb{R}$ est un morphisme, car $\log(a \cdot b) = \log(a) + \log(b)$
> 

> [!example] Exemple 7
> $\begin{align} \det : GL_{n}(\mathbb{R}) &\to \mathbb{R}^{*}\\ M &\mapsto \det(M) \end{align}$
> est un morphisme
> 

> [!fail] Exemple 7 bis
> $\det : M_{n}(\mathbb{R}) \to \mathbb{R}$ n'est **pas** un morphisme
> 
> 

> [!example] Exemple 8
> $\begin{align}  f : \mathbb{Z} &\to \mu _{n}(\mathbb{C}) \\ k &\mapsto e^{1ik \frac{\pi}{2}} \end{align}$
> est un morphisme.
> - ? $\mu _{n}(\mathbb{C}) = \{  z \in \mathbb{C}^{\times} \mid z^{n} = 1 \}$ est le [[groupe des racines complexes de l'unité]]
> 

> [!example] Exemple 9
> $\begin{align}  f : \mathbb{Z} &\to \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \\ k &\mapsto \overline{k} \end{align}$
> est un morphisme car $\overline{k + k'} = \overline{k} + \overline{k'}$

> [!example] Exemple 10
> L'application $\mathbb{R}^{mn} \to M_{mn}(\mathbb{R})$ donnée par l'"agencement en tableau" :
> $(a, b, c, d) \mapsto \begin{pmatrix}a & b\\ c &d\end{pmatrix}$
> est un morphisme
> - ? Il n'y a pas d'analogue pour $GL_{n}(\mathbb{R})$