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différentiable	calcul différentiel	s/maths/analyse

[!definition] Définition [!definition] Définition Soient (E, \|\cdot\|_{E}) et (F, \|\cdot\|_{F}) deux espace vectoriel normé de dimension d'un espace vectoriel finie Soit \Omega un partie ouverte d'un espace métrique de E Soit x \in \Omega Soit f : \Omega \to F On dit que f est différentiable en x s'il existe une application linéaire L_{x} : E \to F telle que f(x + h) = f(x) + L_{x}(h) + \underset{h \to 0}{o}(h) ^definition

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Propriétés

[!proposition]+ les fonctions différentiables sont continues Si f : \Omega \to F est différentiable en x \in \Omega, alors f est continue en x.

• ! cela ne fonctionne qu'en dimention finie

[!démonstration]- Démonstration f(x+h) = f(x) + \underbrace{df(x)(h)}_{\xrightarrow{h \to 0}0} + \underbrace{o(h)}_{\xrightarrow{h \to 0} 0} \xrightarrow{h \to 0} f(x) L(h) \xrightarrow{h \to 0} 0 car L est linéaire, et en dimension finie, toutes les application linéaire sont continues

[!proposition]+ Si f : \Omega \to F est différentiable en x \in \Omega alors elle admet des dérivées directionnelles en x dans toutes les directions v \in E, et on a : D_{v}f(x) = \mathrm{d}f(x)(v)

• ! la réciproque est fausse

[!example]- Contre-exemple de la réciproque Soit la fonction : \begin{align} f : \mathbb{R}^{2} &\to \mathbb{R}\\ (x_1, x_2) &\mapsto \begin{cases} 1 \text{ si } x_2 = x_1{}^{2} \text{ et } x_1 \neq 0 \\ 0 \text{ } \end{cases} \end{align} !fonction différentiable 2025-01-20 14.30.57.excalidraw Cette fonction admet des dérivées directionnelles (nulles) en x = 0, mais n'est pas différentiable en x = 0 (en fait, elle n'est même pas continue en x = 0)

[!proposition]+ équivalence entre différentiabilité et continuité des dérivées partieles Soit f : \mathbb{R}^{n} \to F On a équivalence entre les propositions suivante :

• f est de classe d'une fonction \mathcal{C}^{1}
• en tout x \in \Omega, f admet des dérivée partielle, et celles-ci sont continues autrement dit : f \in \mathcal{C}^{1} \iff \forall i \in \{ 1, \dots, n \},\quad \begin{align} \Omega & \to F \\ x &\mapsto \frac{ \partial f }{ \partial x_{i} }(x) \end{align} \text{ est continue}

[!démonstration]- Démonstration preuve dans le cas n = 2 (le cas général se traite par récurrence) On veut montrer que \forall x \in \Omega, f \text{ est différentiable en } x et que \displaystyle\mathrm{d}f(x) = \sum\limits_{i = 1}^{n} \frac{ \partial f }{ \partial x_{i} }(x)\mathrm{d}x_{i} (la continuité de x \mapsto \mathrm{d}f(x) découlera alors immédiatement de la continuité de x \mapsto \frac{ \partial f }{ \partial x_{i} }(x))

!fonction différentiable 2025-01-27 15.09.17.excalidraw

On écrit : \begin{align} f(x+h) - f(x) - \sum\limits_{i = 1}^{2} \frac{ \partial f }{ \partial x_{i} }(x)h_{i} &= f(x_1+h_1, x_2+h_2) - f(x_1, x_2) - h_1\frac{ \partial f }{ \partial x_1 }(x_1, x_2) - h_2\frac{ \partial f }{ \partial x_2 }(x_1, x_2) \\&= \underbrace{f(x_1+h_1, x_2) - f(x_1, x_2) - h_1\frac{ \partial f }{ \partial x_1 }(x_1, x_2)}_{I_1} + \underbrace{f(x_1+h_1, x_2+h_2) -f(x_1+h_1, x_2) - h_2\frac{ \partial f }{ \partial x_2 }(x_1, x_2)}_{I_2} \end{align}

I_1 = \mathop{o}\limits_{h_1 \to 0}(h_1) = \mathop{o}\limits_{h \to 0}(h)

Pour le terme I_2, on définit g : t \mapsto f(x_1+h_1, t) - (t-x_2)\frac{ \partial f }{ \partial x_2 }(x_1, x_2) qui est de classe \mathcal{C}^{1} au voisinage de x_2, et de différentielle : \mathrm{d}g(t)(k) = k\left( \frac{ \partial f }{ \partial x_2 }(x_1+h_1, t) - \frac{ \partial f }{ \partial x_2 }(x_1, x_2) \right) L'inégalité des accroissements finis appliquée à g nous donne : \|g(x_2+h_2) - g(x_2)\|_{F} \leq \sup\limits_{s \in [0, 1]} \|\mathrm{d}g(sx_2 + (1-s)(x_2+h_2))\|_{\mathscr{L}(E, F)} |h_2| et donc : \|f(x_1+h_1, x_2+h_2) - f(x_1+h_1) - h_2 \frac{ \partial f }{ \partial x_2 }(x_1, x_2)\|_{F} \leq \sup\limits_{s \in [0, 1]} \| \frac{ \partial f }{ \partial x_2 }(x_1+h_1, sx_2 + (1-s)(x_2 + h_2)) - \frac{ \partial f }{ \partial x_2 }(x_1, x_2)\\midh_2 De là on déduit que I_2 = 0

Donc, I_1 + I_2 = \mathop{o}\limits_{h \to 0}(h)

[!proposition]+ Une fonction de différentielle nulle sur un connexe est constante Soit \Omega un partie ouverte d'un espace métrique espace métrique connexe de E Si f : \Omega \to F est différentiable en tout point et si \forall x \in \Omega ,\quad \mathrm{d}f(x) = 0 alors f est constante

[!démonstration]- Démonstration Soit x \in \Omega Don définit U = \{ y \in \Omega \mid f(y) = f(x) \} et on veut montrer que U = \Omega

• Clairement, U est un ensemble partie fermée d'un espace métrique (si (y_{n})_{n \in \mathbb{N}} \in U^{\mathbb{N}} vérifie y_{n} \xrightarrow{n \to \infty} y alors \forall n \in \mathbb{N},\quad f(y_{n}) = f(x) et en passant à la limite n \to \infty on a par continuité de f - qui est différentiable sur \Omega - que f(y) = f(x) c'est-à-dire y \in U)

• On va maintenant montrer que U est partie ouverte d'un espace métrique grâce à l'inégalité des accroissements finis. Soit y \in U comme y \in \Omega ouvert, il existe r \geq 0 tel que B(y, r) \subset \Omega Soit z \in B(y, r) Comme B(y, r) est convexe, le segment [y, z] \subset B(y, r) \subset \Omega et l'inégalité des accroissements finis assure que : \|f(y) -f(z)\|_{F} \leq \underbrace{\sup\limits_{t \in [0, 1]} \|\mathrm{d}f(ty + (1-t)y)\|_{\mathscr{L}(E, F)}}_{=0 \text{ car } \mathrm{d}f(x) = 0,\quad\forall x \in \Omega} \|y-z\| donc \|f(y)-f(z)\|_{F} = 0 c'est-à-dire f(y) = f(z) et donc f(z) = f(x) On en déduit que z \in U et donc B(y, r) \subset U et donc que U est partie ouverte d'un espace métrique

Finalement, U est ouvert et fermé dans \Omega qui est espace métrique connexe, d'où suit que U = \Omega (comme x \in U, on sait que U \neq \emptyset). De là, par la définition de U, on sait que f est constante sur \Omega.

Exemples