cours/espace bidual d'un espace vectoriel.md

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		s/maths/algèbre

[!definition] Définition Soit E un $\mathbf{K}$-espace vectoriel de dimension d'un espace vectoriel n Soit x \in E, notons : \begin{align} \tilde{x} : E^{*} &\to K \\ \varphi & \mapsto \varphi(x) \end{align} Si \tilde{x} est linéaire, alors \tilde{x} \in \mathscr{L}(E^{*}, K) = E^{**} L'ensemble E^{* *} des applications linéaires de \mathscr{L}(E^{*}, K) est appelé bidual de $E$ ^definition

Propriétés

[!proposition]+ Soit E un $\mathbf{K}$-espace vectoriel de dimension d'un espace vectoriel n finie Soit x \in E, notons : \begin{align} \tilde{x} : E^{*} &\to K \\ \varphi & \mapsto \varphi(x) \end{align} Posons \begin{align} T : E &\to E^{**} \\ x &\mapsto \tilde{x} \end{align} Alors T est un isomorphisme

[!démonstration]- Démonstration

• T est linéaire, en effet : Soient x, y \in E et \lambda \in K \forall \varphi \in E^{*},\quad T(x+\lambda y)(\varphi) = \varphi(x + \lambda y) = \varphi(x)+\lambda \varphi(y) = T(x)(\varphi) + \lambda T(y)(\varphi) donc T(x) + \lambda T(y) = T(x+\lambda y)
• \dim E = \dim E^{*}
• Il suffit de vérifier que T est injective, i.e. \ker \varphi = \{ 0 \} Soit x \in E avec x \neq 0 Je peux compléter \{ x \} en une base \{ x, e_2, \dots, e_{n} \} de E (théorème de la base incomplète) On définit \varphi \in E^{*} par \begin{cases} \varphi(x) = 1\\ \varphi(e_{i}) = 0 \end{cases} alors \varphi(x) \neq 0 et T(x)(\varphi) \neq 0 et donc T(x) \neq 0 On a montré que x \neq 0 \implies T(x) \neq 0, donc \ker T = \{ 0 \} d'où suit que T est injective

Ainsi, T est une application linéaire et injective entre deux espaces de même dimension, d'où suit que T est un isomorphisme.

Exemples