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alias: "dérivée"
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up::[[analyse]]
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#s/maths/analyse
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La dérivée d'une fonction $f$ est la fonction $f'$ telle que :
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$\displaystyle f'(a) = \lim_{h\rightarrow0}\left( \dfrac{f(a+h) - f(a)}{h} \right)$
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C'est le [[coefficient directeur]] de la [[tangente à une courbe|tangente à la courbe]] en chaque point.
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# Notation
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Soit $f$ une fonction.
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On note $f'$ la *dérivée* de $f$.
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On note $f''$ la *dérivée seconde* de $f$, c'est à dire la dérivée de $f'$.
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## Dérivées successives
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On note :
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- $f^{(0)}=f$
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- $f^{(1)}=f'$
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- $f^{(2)}=f''$
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- $\vdots$
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- $f^{(n)}=(f^{(n-1)})'$
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# Méthodes de dérivation
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On peut utiliser les dérivées des fonctions usuelles :
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## Dérivées d'expressions
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$$\begin{array}{|r|l|}
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\hline
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\text{expression} & \text{dérivée}\\\hline
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x^n & nx^{n-1}\\\hline
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sin(x) & cos(x)\\\hline
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cos(x) & -sin(x)\\\hline
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\arcsin' x & \dfrac1{\sqrt{1-x^2}}\\\hline
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\arccos' x & -\dfrac1{\sqrt{1-x^2}}\\\hline
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\tan x & \dfrac{1}{\cos^{2}(x)} = 1 + \tan^{2}(x)\\\hline
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\tan x & \dfrac{1}{\cos^{2}(x)} \\\hline
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\arctan x & \dfrac1{1+x^2}\\\hline
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\mathrm{sh}(x) & \mathrm{ch}(x) \\\hline
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\mathrm{ch}(x) & \mathrm{sh}(x)\\\hline
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\arg\mathrm{sh}'(x) & \dfrac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}\\\hline
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\arg\mathrm{ch}'(x) & -\dfrac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}\\\hline
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\mathrm{th}(x) & \dfrac{1}{\mathrm{ch}^{2}(x)} = 1 - \mathrm{th}^2(x)\\\hline
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\end{array}$$
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## Dérivées de fonctions
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$$\begin{array}{|r|l|}\hline
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\text{expression} & \text{dérivée}\\\hline
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u \times v & u'v + uv'\\\hline
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\dfrac uv & \dfrac{u'v - uv'}{v^2}\\\hline
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e^u & u'\cdot e^u\\\hline
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\ln u & \dfrac{u'}{u}\\\hline
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\ln |u| & \dfrac{u'}{u}\\\hline
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u^n & nu'\cdot u^{n-1}\\\hline
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g\circ f & f' \times g'\circ f\\\hline
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(f^{-1})' & \dfrac1{f'\circ f^{-1}}\\\hline
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\end{array}$$
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# Formules générales
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## Formule de Leibniz
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Dériver $n$ fois un produit de fonctions :
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$$(fg)^{(n)} = \sum_{k=0}^n \left( \binom{n}{k} f^{(k)} g^{(n-k)} \right)$$
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# Notion de [[fonction dérivable]]
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Une fonction est dérivable sur un intervalle si sa dérivée existe sur cet intervalle
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