cours/caractéristique d'un anneau.md

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	anneau	s/maths/algèbre

[!definition] Définition Soit A un anneau La caractéristique de $A$, notée \mathrm{Car}(A) est le plus petit entier n \geq 1 tel que dans A, n 1_{A} = 0_{A} S'il n'y en a pas, alors \mathrm{Car}(A) = 0 ^definition

Propriétés

[!proposition]+ Cas particulier : caractéristique égale à 1 Soit A un anneau A /A = \{ \overline{0} \} et alors \operatorname{Car}(A /A) = 1

• i C'est le seul ensemble de caractéristique 1

[!démonstration]- Démonstration B = \{ 0 \} est bien un anneau : 0 + 0 = 0 0 \cdot 0 = 0 on voit que 0 = 1 dans cet anneau

Et on a bien 1 \cdot 0 = 0

[!proposition]+ Caractéristiques des corps Soit A anneau intègre (ou un corps) de caractéristique p Alors p est nombre premier

[!démonstration]- Démonstration supposons p = n \cdot m avec n, m > 0 Alors 0_{A} = p 1_{A} = (n 1_{A})(m 1_{A}) or, A est anneau intègre, donc : \begin{cases} n 1_{A} = 0_{A} \\ \text{ou} \\ m 1_{A} = 0_{A} \end{cases} \implies \begin{cases} m \in \ker f = p \mathbb{Z} \\ \text{ou} \\ n \in p\mathbb{Z} \end{cases} \implies \begin{cases} m = p\\ \text{ou} \\ n = p \end{cases} D'où suit que p n'a aucun facteur non trivial, et donc que p est premier ou vaut 1. Mais pas 1, car si p = 1, alors p 1_{A} = 0_{A} \implies 1_{A} = 0_{A}

Exemples