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alias: [ "réciproque" ]
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up: "[[application]]"
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tags: "#s/maths/analyse"
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> [!definition] Définition
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> Soit $f : E \to F$ une [[bijection]]
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> On sait qu'elle est [[injection|injective]] et [[surjection|surjective]], donc $\forall y \in F, \exists!x \in E, y = f(x)$, et on peut dire qu'il existe une [[application]] $f^{-1}$ telle que :
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> $\begin{aligned} f^{-1}: F &\rightarrow E\\ y &\mapsto x \text{ tel que } y=f(x) \end{aligned}$
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> Cette application est appelée **application réciproque**
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^definition
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# Propriétés
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- $f^{-1}$ à le même sens de variation que $f$.
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> [!proposition]+ [[composition de fonctions]]
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>
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> Lorsque l'on [[composition de fonctions|compose]] $f$ et $f^{-1}$, on obtient une fonction identité :
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>
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> $f \circ f^{-1} = \mathrm{id}_E$ $(E \rightarrow F \rightarrow E)$
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> $f^{-1}\circ f = \mathrm{id}_F$ $(F \rightarrow E \rightarrow F)$
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>
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> - ! généralement, $f\circ f^{-1} \neq f^{-1}\circ f$, car leur [[ensemble de définition|ensembles de définition]] sont différents.
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# calcul de la fonction réciproque
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## Exemple
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$$\begin{aligned}
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f: &\mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}^+\\
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&x \mapsto x^2
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\end{aligned}$$
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Avec ces ensembles de départ et d'arrivée, $f$ est bien une bijection
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## Exemples
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Voir: [[fonction sinus]]
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Voir: [[fonction cosinus]]
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