cours/signature d'une permutation.md

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signature

up::permutation #maths/algèbre

[!definition] Définition Soit s une permutation. Soit k le nombre de transposition dans la décomposition en produit de transpositions de s. La signature de s est \varepsilon(s) = (-1)^k, soit \varepsilon(s) = \left\{\begin{gathered}1\text{ si } k\in2\mathbb Z\\ -1\text{ sinon}\end{gathered}\right. ^definition

Propriétés

• la signature de la composée est le produit des signatures

  • Soient s et s' deux permutations, \varepsilon

• la signature d'un k-cycle est (-1)^{p-1}

  • Signature d'une transposition : (-1)^1 = -1
  • Signature d'un 3-cycle : (-1)^3 = 1
  • Signature d'un 4-cycle : (-1)^4 = -1
  • \vdots
  • Signature d'un p-cycle : (-1)^{p-1}

[!proposition]+ La signature est un morphisme La fonction \varepsilon qui à une permutation associe sa signature : \varepsilon : \mathfrak{S}_{n} \to \{ -1; 1 \} est un morphisme injection de (\mathfrak{S}_{n}, \circ) \to (\{ -1; 1 \}, \times). Le noyau d'un morphisme de groupes est \mathfrak{A}_{n} le groupe alterné

Exemple

[!example] Exemple Soit s = (1, 4, 7, 2, 8, 3, 5, 6) (ici, s est un k-cycle) La décomposition en produit de transpositions de s est : s = (1,4)\circ(4, 7)\circ(7,2)\circ(2,8)\circ(8,3)\circ(3,5)\circ(5,6)\circ(6,1)

Méthodes de calcul

Soit \sigma\in\mathfrak S_7 \sigma = \begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7\\ 1 & 7 & 6 & 4 & 3 & 5 & 2\end{pmatrix}

Première méthode

Soit I(\sigma) le nombre d'inversions d'une permutations de \sigma, \varepsilon(\sigma) = (-1)^{I(\sigma)} Il y a 12 inversions dans \sigma (voir nombre d'inversions d'une permutations/méthode de calcul)

Deuxième méthode

\displaystyle\varepsilon(\sigma) = \prod_{1\leq i < j \leq n}\frac{\sigma(i)-\sigma(j)}{i-j}

Dans notre cas, \varepsilon(\sigma) = \dfrac{(-6)\times(-5)\times(-3)\times(-2)\times(-4)\times(-1)\times1\times3\times4\times2\times5\times2\times3\times1\times4\times1\times(-1)\times2\times(-2)\times1\times3}{(-1)\times(-2)\times(-3)\times(-4)\times(-5)\times(-6)\times(-1)\times(-2)\times(-3)\times(-4)\times(-5)\times(-1)\times(-2)\times(-3)\times(-4)\times(-1)\times(-2)\times(-3)\times(-1)\times(-2)\times(-1)}=-1

Troisième méthode

Si on fait la décomposition en produit de transpositions de \sigma, et que l'on note t le nombre de transposition dans cette décomposition, on aura : \varepsilon(\sigma) = (-1)^t

Dans notre cas, \sigma = (2,7)\circ(3,6,5) = (2,7)\circ(3,6)\circ(6,5) Il y a 3 transpositions dans la décomposition en composée de transpositions, donc : \varepsilon(\sigma) = (-1)^3 = -1