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up:: [[normes équivalentes]], [[norme p]]
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#maths/algèbre
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Soit $x \in \mathbb{R}^{n}$ quelconque
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$\displaystyle \|x\|_{\infty } = \max_{i = 1}^{n} |x_{i}| \leq |x_1|+\dots+|x_{n}|$
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donc $\|x\|_{\infty } \leq \|x\|_{1}$
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A l'inverse :
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$\|x\|_{1} = \underbrace{|x_1| + |x_2|+ \cdots + |x_{n}|}_{\substack{\text{tous les termes sont}\\ \leq \max\limits_{i=1}^{n}(|x_{i}|) = \|x\|_{\infty}}}$
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Donc, $\frac{1}{n}\|x\|_{1} \leq \|x\|_{\infty}$
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On a donc bien équivalence entre la [[norme p|norme 1]] et la [[norme infini]] sur $\mathbb{R}^{n}$
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