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alias: [ "somme" ]
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up:: [[sous espace vectoriel]]
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title::"$E_{1}+E_{2} = \{ u_{1}+u_{2} \mid u_{1}\in E_{1} \wedge u_{2} \in E_{2} \}$"
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#s/maths/algèbre
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> [!definition] somme d'espaces vectoriels
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> Soient $E_{1}$ et $E_{2}$ deux [[sous espace vectoriel|sous espaces vectoriels]] d'un [[espace vectoriel]] $E$
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> La somme $E_{1}+E_{2}$ est l'ensemble des sommes d'un [[vecteur]] de $E_{1}$ et d'un [[vecteur]] de $E_2$
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> $\boxed{E_{1}+E_{2} = \big\{ u_{1} + u_{2} \mid u_{1}\in E_{1} \wedge u_{2} \in E_{2}\big\}}$
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> Cette somme est un [[sous espace vectoriel]] de $E$
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> > [!info] remarque
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> > Puisque $E_1$ et $E_2$ sont des [[espace vectoriel|espaces vectoriels]], on sait que $u_1 \in E_1 \implies \lambda u_1 \in E_1$ et $u_2 \in E_2 \implies \gamma u_2 \in E_2$, donc $E_1 + E_2$ est **l'ensemble des [[combinaison linéaire|combinaisons linéaires]] de vecteurs de $E_1$ et $E_2$**
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^definition
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# Propriétés
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- $\dim (F+G) = \dim(F) + \dim(G) - \dim(F \cap G)$
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- on retire $\dim(F\cap G)$ pour ne pas compter deux fois l'intersection
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