cours/polynôme minimal.md

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[!definition] Définition

Soit E un $K$-espace vectoriel Soit f \in \mathscr{L}(E) L'application : \begin{align} \varphi _{f} : K[X] &\to \mathscr{L}(E) \\ P &\mapsto P(f) \end{align} est un morphisme d'algèbres, c'est-à-dire à la fois un morphisme d'anneaux et endomorphisme d'espaces vectoriels Comme K[X] est de dimension infinie en tant que $\mathbf{K}$-espace vectoriel et que ce n'est pas le cas pour \mathscr{L}(E), il en résulte que \ker \varphi _{f} est un idéaux d'un anneau non réduit à \{ 0 \} de K[X].

Il existe alors un unique polynôme unitaire \pi _{f} tel que \ker \varphi _{f} = (\pi _{f})

\pi _{f} est appelé polynôme minimal de f.

De même, si A \in \mathcal{M}_{n}(K), le polynôme \pi _{A}, unique générateur du Noyau d'une application linéaire P \mapsto P(A) est appelé polynôme minimal de A ^definition

Propriétés

Exemples