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up:: indices d'une variable aléatoire title:: "discret : $E(X) = \sum\limits_{i}(x_{i}\cdot p_{i})$", "continu : E(X) = \int x f(x) \, dx, où f(x) est la fonction de densité de probabilités" #s/maths/probabilités

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[!definition] Espérance d'une variable aléatoire continue Soit X une variable aléatoire continue Soit f la fonction de densité de probabilités de X L'espérance de X est : \boxed{E(X) = \int_{\mathbb{R}} x f(x) \, dx}

• [I] peut être vu comme une généralisation du cas des variables discrettes

[!definition] Espérance d'une variable aléatoire discrète Soit X une variable aléatoire discrète Soit f la fonction de densité de probabilités de X Soit (x_{i}) la suite des valeurs prises par X Soit (p_{i}) la suite des P(X \leq x_{i}) L'espérance de X est : \boxed{E(X) = \sum\limits_{i}(x_{i} \cdot p_{i})}

• [I] C'est la somme des \text{valeur prise} \times \text{probabilité associée}

Propriétés

Soient X et Y deux variable aléatoire réelle Soient f et g leurs fonction de densité de probabilités respectives

• E( \lambda X + Y) = \lambda E(X) + E(Y) l'espérance est application linéaire

• Si X et Y sont variables aléatoires indépendantes, alors E(X \times Y) = E(X) \times E(Y)