cours/ensemble des polynômes.md

up, tags

up	tags
polynôme	#s/maths/algèbre #s/maths/analyse

[!definition] Définition Soit A un anneau L'ensemble des polynôme sur A est noté A[X] (parfois aussi noté A[\mathbb{X}]) ^definition

[!definition] Lois sur les polynômes Soit A un anneau Soient P, Q \in A[X] deux polynômes Soient m, n \in \mathbb{N} tels que \begin{cases} a_{k} = 0 \text{ si } k \geq n + 1 \\ b_{k} = 0 \text{ si } k \geq m+1 \end{cases} On définit les deux loi de composition interne suivantes :

1. P + Q = \sum\limits_{k = 0}^{\max(m, n)}(a_{k}+b_{k})X^{k}
2. P\cdot Q = \sum\limits_{k = 0}^{m +n} C_{k}X^{k} avec C_{k} = \sum\limits_{l = 0}^{k}a_{l}b_{k -l}

title: "Sous-notes"
type: tree
collapse: false
show-attributes: [field]
field-groups: [downs]
depth: [0, 0]

Propriétés

[!proposition]+ Les polynômes sur un anneau forment un anneau commutatif Soit A un anneau (A[X], +, \cdot) est un anneau commutatif

De plus, l'application : \begin{align} \varphi : A &\to A[X] \\ a &\mapsto (a, 0, 0, 0, \dots) \end{align} est un morphisme injection

• i il pourra arriver qu'on note A \subset A[X] les polynôme de degré \leq 0 ^ensemble-des-polynomes-anneau-commutatif

[!proposition]+ Les polynômes sur un corps forment un espace vectoriel Soit K un corps (K[X], +, \cdot) est un $K$-espace vectoriel

[!proposition]+ Les polynômes sur un corps forment un anneau principal Soit K un corps alors K[X] est idéal principal De plus, tout idéal \neq \{ 0 \} est engendré par un unique polynôme unitaire

[!démonstration]- Démonstration On suppose I \neq \{ 0 \} Notons n = \min \{ \operatorname{deg} P \mid P \in I \wedge P \neq 0 \} Soit P \in I de degré n Montrons que I = (P) = P\cdot K[X] P \in I par définiton, et il est donc évident que (P) \subset I Montrons que I \subset (P) Soit Q \in I P \neq 0 on peut faire la division euclidienne de polynômes ainsi \exists! (A, B) \in K[X],\quad Q = AP +B \text{ où } \operatorname{deg}B < \operatorname{deg}P B = \underbracket{Q}_{\in I} - A \underbracket{P}_{\in I} \in I car I est idéaux d'un anneau On a donc construit B \in I tel que \operatorname{deg}B < n = \min \{ \operatorname{deg}P \mid P \in I \wedge P \neq 0 \} Ainsi B = 0 et donc : Q = AP \in P K[X] = (P) Donc on a bien Q \in (P) d'où suit que I \subset (P)

Comme on a montré que (P) \subset I et I \subset (P), on sait que I = (P)

---

P \neq 0 donc son coefficient dominant d'un polynôme est \neq 0 Posons P_{0} = \alpha ^{-1}P polynôme unitaire Montrons que (P_0) = (P) P_0 = \alpha ^{-1}P \in K[X]P donc P_0 \in (P) et donc (P_0) \subset (P) Réciproquement P = \alpha P_0 \in (P_0) \implies (P) \subset (P_0) Donc on a bien (P_0) = (P)

On a montré que I est engendré par un polynôme unitaire P_0 Montrons que ce polynôme est unique. Soit Q polynôme unitaire tel que I = (Q) P_0 \mid Q et Q\mid P_0 donc P_0 = Q

[!proposition]+ Soit A un anneau intègre Soit P \in A[X] polynôme irréductible avec P \neq 0 On a équivalence entre les propositions :

1. P est non inversible
2. P = RS \implies R \text{ ou } S \text{ inversible}

Exemples

• \mathbb{R}[X] l'ensemble des polynômes sur \mathbb{R}
• \mathbb{C}[X] l'ensemble des polynômes sur \mathbb{C}