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up:: [[groupe linéaire des matrices modulaires]]
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#s/maths/algèbre
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Soit $p$ un [[nombre premier]]
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Soit $(GL_{n}(p), \times)$ l'ensemble des matrices modulaires de taille $n$ sur $\mathbb{Z} / p\mathbb{Z}$ muni de la [[multiplication de matrices]]
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alors on veut montrer que $(GL_{n}(p), \times)$ est un groupe fini
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# $\times$ est une [[loi de composition interne|lci]]
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Soient $M, N \in GL_{n}(p)$
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On pose $A, B \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{Z})$ tels que $M = \overline{A}$ et $N = \overline{B}$
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(les coefficients de $M$ sont obtenus via les coefficients de $A$, par réduction modulo $p$, idem pour $N$ et $B$)
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On a $MN = \overline{AB}$
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On a $\det M = \overline{\det A}$ et $\det N = \overline{\det B}$
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Ainsi : $\det(MN) = \det(\overline{AB}) = \overline{\det(AB)} = \overline{\det(A) \det(B)}$
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Or $p \nmid \det A$ car $\overline{\det A} = \det \overline{A} = \det M \not \equiv \overline{0} \mod{p}$ car $M \in GL_{n}(p)$
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de même, $p \nmid \det B$
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Donc, $p \nmid \det (A) \det(B)$ car $p$ est premier
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Donc, $\overline{\det(A) \det(B)} \not\equiv \overline{0} \mod{p}$
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# La matrice $\overline{I_{n}} = \begin{pmatrix} \overline{1} &&\\ &\ddots& \\ && \overline{ 1}\end{pmatrix}$ est dans $GL_{n}(p)$ et est son élément neutre
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En effet, $\det \overline{I_{n}} = \overline{1}^{n} = \overline{1} \neq \overline{0}$
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donc $\overline{I_{n}} \in GL_{n}(p)$
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$\forall M \in GL_{n}(p)$
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on pose $A \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{Z})$ tel que $M = \overline{A}$
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on a :
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$M \overline{I_{n}} = \overline{A} \cdot\overline{I_{n}} = \overline{AI_{n}} = \overline{A} = M$
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et $M \overline{I_{n}} = \overline{A} = \overline{I_{n} A} = \overline{I_{n}}\cdot \overline{A} = \overline{I_{n}} M$
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Donc, $\overline{I_{n}}$ est bien l'élément neutre de $GL_{n}(p)$
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# Existence de l'inverse
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Soit $M \in GL_{n}(p)$
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Soit $A \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{Z})$ tel que $M = \overline{A}$
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On a $A \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})$, donc d'après la formule de la [[comatrice]] :
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$\exists B \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{Z}), \quad AB = (\det A) I _{n}$
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On a $\overline{ 0} \neq \det M = \det \overline{A} = \overline{\det A}$
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Ainsi, $\overline{\det A} \in \mathbb{Z} / p\mathbb{Z} \setminus \{ 0 \} = \left( \mathbb{Z} / p\mathbb{Z} \right)^{*}$ car $p$ est premier
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Puisque $(\mathbb{Z} / p\mathbb{Z})^{*}$ est un groupe pour la multiplication, on sait qu'il existe $\alpha \in (\mathbb{Z} / p\mathbb{Z})^{*}$ tel que $\alpha \overline{\det A} = \overline{1}$
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On a alors, avec $N := \alpha \overline{B} \in \mathcal{ M}_{n}$ |