70 lines
2.0 KiB
Markdown
70 lines
2.0 KiB
Markdown
---
|
|
aliases:
|
|
- arbre
|
|
---
|
|
up::[[structure de données]], [[graphe]]
|
|
#s/maths #s/informatique/algorithmie
|
|
|
|
---
|
|
Un arbre est une [[structure de données]]
|
|
|
|
|
|
# Définition récursive
|
|
Un arbre est défini comme une valeur, et une liste de sous-arbres.
|
|
On appelle ce couple (valeur, liste de sous arbre) un **noeud**
|
|
On considère généralement aussi l'arbre _nul_ (qui ne possède aucun noeuds) comme un arbre également.
|
|
|
|
## Détails d'implémentation
|
|
Pour une implémentation, on considère généralement un arbre comme une valeur et une liste (éventuellement vide) de sous-arbre
|
|
|
|
|
|
# Définition mathématique
|
|
## En théorie des graphes
|
|
Un _arbre_ un [[graphe]] **acyclique** (qui ne possède aucun [[cycle (théorie des graphes)|cycle]]) et [[connexité (théorie des graphes)|connexe]].
|
|
|
|
## Avec des relations
|
|
Un _arbre_ est la donnée d'un ensemble $E$ et d'une [[relation]]
|
|
[[relation symétrique|symétrique]] $\mathscr R$ sur $E$ telle que deux points distincts quelconques $x$ et $y$ de $E$ soient reliés par un seul chemin injectif fini, c.a.d $n+1$ points $z_0,\ldots,z_n$ de $E$ vérifiant $z_0 = x$, $\forall i<n, z_i \mathscr R z_{i+1}$ et $z_n = y$.
|
|
|
|
|
|
# Propriétés
|
|
- **racine** : la racine d'un arbre est le noeud que l'on définit comme celui de "départ".
|
|
- Dans la définition récursive, c'est celui qui contient tous les sous-arbres
|
|
- **hauteur** : la profondeur maximale d'un arbre
|
|
- Un arbre à un seul noeud à une hauteur de 0
|
|
- Un arbre _nul_ à une hauteur de -1
|
|
- **profondeur** : la profondeur d'un noeud est la longueur du chemin le plus court qui le mène à la **racine** de l'arbre
|
|
- **degré** d'un noeud : le nombre d'enfants de ce noeud
|
|
|
|
|
|
# Exemple
|
|
```mermaid
|
|
graph TD
|
|
0 --> 1
|
|
0 --> 2
|
|
0 --> 3
|
|
1 --> 4
|
|
1 --> 5
|
|
2 --> 6
|
|
2 --> 7
|
|
2 --> 8
|
|
2 --> 9
|
|
3 --> 10
|
|
4 --> 11
|
|
6 --> 12
|
|
6 --> 13
|
|
7 --> 14
|
|
10 --> 15
|
|
11 --> 16
|
|
16 --> 17
|
|
```
|
|
|
|
Dans cet arbre :
|
|
- ` 0 ` est la **racine**
|
|
- ` 4 ` et ` 5 ` sont les **enfants** de ` 1 `
|
|
- ` 2 ` est un noeud de **degré** 4
|
|
- ` 12 ` à une **profondeur** de 3
|
|
|
|
L'arbre à une **hauteur** de 5
|
|
|