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aliases:
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- isomorphisme de groupes
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- isomorphisme
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up:
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- "[[morphisme de groupes]]"
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- "[[isomorphisme]]"
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tags: "#s/maths/algèbre"
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> [!definition] [[isomorphisme de groupes]]
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> Un _isomorphisme_ est un [[morphisme de groupes]] [[bijection|bijectif]].
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^definition
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- i S'il existe un isomorphisme entre les groupes $A$ et $B$, on dit qu'ils sont [[groupes isomorphes|isomorphes]], et on note $A \simeq B$
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- voir [[groupes isomorphes]]
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# Propriétés
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> [!proposition]+ réciproque
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> Si $f : G \to H$ est un isomophisme
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> alors $f^{-1} : H \to G$ est un isomophisme aussi
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> > [!démonstration]- Démonstration
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> > On sait déjà que $f^{-1}$ est une bijection puisque $f$ en est une.
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> > Il ne reste plus qu'a montrer que $f^{-1}$ est un morphisme.
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> > Soient $x, y \in H$, on veut montrer que :
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> > $f^{-1}(xy) = f^{-1}(x)f^{-1}(y)$
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> > Puisque $f$ est [[bijection|bijective]], on a :
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> > $f^{-1}(xy) = f^{-1}(x)f^{-1}(y) \iff xy = f(f^{-1}(x)f^{-1}(y))$
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> > Or, $f$ est un morphisme, donc $f(f^{-1}(x)f^{-1}(y)) = f(f^{-1}(x))f(f^{-1}(y)) = xy$
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> > Donc, par équivalence, on a bien $f^{-1}(xy) = f^{-1}(x)f^{-1}(y)$, c'est-à-dire que $f^{-1}$ est bien un morphisme
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> > Comme $f^{-1}$ est un morphisme et qu'il est bijectif, c'est bien un isomorphisme.
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^isomorphisme-reciproque
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# Exemple
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Sur $(\mathbb{R},+)$, la fonction $\ln$ est un [[isomorphisme de groupes]]
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$$\begin{align}
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\ln :& (\mathbb{R}, +) \mapsto (\mathbb{R},\times)\\
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& x \mapsto \ln(x)
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\end{align}$$
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Et la réciproque de $\ln$, $\exp$ :
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$$\begin{align}
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\exp :& (\mathbb{R}, \times) \mapsto (\mathbb{R}, +)\\
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& x \mapsto e^x
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\end{align}$$
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Puisque $\ln$ et sa réciproque sont tous les deux des [[morphisme de groupes]].
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- = $\exp$ est un isomorphisme de $\mathbb{R} \to \mathbb{R}^{*}_{+}$ et aussi de $\mathbb{C} \to \mathbb{C}^{*}$ |