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up:: [[convergence d'une série numérique]]
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title:: "Si $\sum\limits u_{n}$ et $\sum\limits v_{n}$ convergent", "alors $\sum\limits (\lambda u_{n} + v_{n})$ converge"
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#s/maths/analyse
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> [!definition] Convergence de la combinaison linéaire de deux séries convergentes
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> Soient $(u_{n})$ et $(v_{n})$ deux suites
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> Si $\sum\limits u_{n}$ et $\sum\limits v_{n}$ [[convergence d'une série numérique|convergent]], alors
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> $\forall \lambda \in \mathbb{C}, \quad \sum\limits \left( \lambda u_{n} + v_{n} \right)$ converge
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^definition
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# Démonstration
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Soient $S_{n}$ et $T_{n}$ les [[somme partielle d'une suite|sommes partielles]] respectives de $u$ et $v$
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Alors, la somme partielle d'ordre $n$ de $\sum\limits \lambda u_{n} + v_{n}$ est $\lambda S_{n} + T_{n}$
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Comme $S$ et $T$ convergent, alors $\lambda S_{n} + T_{n}$ converge vers $\lambda \sum\limits (u_{n}) + \sum\limits (v_{n})$
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