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up::[[fonction sinus hyperbolique|sh]]
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sibling::[[démonstration expression de l'arg cosinus hyperbolique]]
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description::""
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#maths/trigonométrie #démonstration
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$$\begin{align*}
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\sh(x) = y &\iff \frac{e^{x}-e^{-x}}{2} = y\\
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&\iff e^{x}-e^{-x} = 2y\\
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&\iff e^{x} - \frac{1}{e^{x}} = 2y\\
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&\iff (e^{x})^{2} - 1 = 2y(e^{x})\\
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&\iff (e^{x})^{2} - 2y(e^{x}) - 1 = 0\\
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&\qquad \Delta = 4y^{2} + 4 \text{ comme } y \geq 1, \Delta > 0\\
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&\qquad\text{Donc, une unique solution :}\\
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&\qquad \qquad S = \{y\}\\
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&\iff
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\end{align*}$$
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- [x] #task recopier la démonstration de l'expression de $\arg\sh$ ✅ 2022-09-05
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