cours/groupe des classes modulo n.md

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Z/nZ	groupe	#s/maths/algèbre

[!definition] groupe des classes d'équivalence modulo n (\mathbb{Z} / n\mathbb{Z}, +) ^definition

Propriétés

[!proposition]+ Ordre des éléments de \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} Soit k \in \mathbb{Z} L'ordre d'un élément d'un groupe de \overline{k} dans \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} est : \displaystyle o(\overline{k}) = \frac{n}{\operatorname{pgcd}(n, k)}

[!démonstration]- Démonstration

• Si k = 0 alors o(\overline{k}) = 1 et \operatorname{pgcd}(n, k) = n donc l'égalité est vraie.
• Si k \neq 0 alors o(\overline{k}) est le plus petit entier qui vérifie o(\overline{k}) \cdot k = \overline{o(\overline{k}) \cdot k} = \overline{0}, ou autrement le plus petit entier qui vérifie n | o(\overline{k})\cdot k. On a donc k\cdot o(\overline{k}) = \operatorname{ppcm}(n, k). De là suit que : \begin{align} o(\overline{k}) &= \frac{\operatorname{ppcm}(n,k)}{k} \\&= \frac{\operatorname{ppcm}(n, k) \cdot \operatorname{pgcd}(n, k)}{k \cdot \operatorname{pgcd}(n, k)} \\&= \frac{n\cdot k}{k \cdot \operatorname{pgcd}(n, k)} \\&= \frac{n}{\operatorname{pgcd}(n, k)} \end{align}