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up:: [[groupe]]
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author:: [[Arthur Cayley]]
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#s/maths/algèbre
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> [!definition] théorème de cayley
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> Soit $(G, *)$ un groupe
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> Soit $a \in G$
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> Les applications $\begin{align} \gamma :& G \to G\\ & b \mapsto a *b \end{align}$ et $\begin{align} \delta :& G \to G \\& b \mapsto b*a \end{align}$
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> Sont des [[bijection|bijections]].
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^definition
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> [!démonstration]- Démonstration
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> 1. Montrons que $\gamma$ est [[injection|injective]] :
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> Soient $b, b' \in G$ tels que $\gamma(b)=\gamma(b')$
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> Alors il existe un $a$ tel que $a*b=a*b'$, donc $\underbrace{a^{-1}*a}_{e_{G}}*b=\underbrace{a^{-1}*a}_{e_{G}}*b'$, donc $b=b'$
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> 2. Montrons que $\gamma$ est [[surjection|surjective]] :
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> Soit $c \in G$, on cherche $b \in G$ tel que $\gamma(b) = a*b=c$
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> l'élément $b := a^{-1}*c$ convient, car $a*b = \underbrace{a*a^{-1}}_{e_{G}}*c = c$
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> Donc, $\gamma$ est [[surjection|surjective]]
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> 3. Comme $\gamma$ est [[injection|injective]] et [[surjection|surjective]], $\gamma$ est bien une bijection
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> [!démonstration]- Autrement
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> Soit $(G, *)$ un groupe
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> Soit $b \in G$
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> Soit $\begin{align} \gamma :& G \to G \\& x \mapsto b*x \end{align}$ et $\begin{align} \delta :& G \to G \\& x \mapsto x * b \end{align}$
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> $\gamma$ est une [[bijection]] car on trouve sont inverse : $\gamma ^{-1} : x \mapsto b^{-1} *x$. $G$ est un groupe, donc $b^{-1} \in G$, et par associativité, on a bien $\gamma^{-1} \circ \gamma (x) = b^{-1} *(b*x) = (b^{-1}*b)*x = e_{G}*x=x$, quel que soit $x \in G$
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> On procède de la même manière avec $\delta$ dont l'inverse est $\delta ^{-1} : x \mapsto x * b ^{-1}$
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> De la même mani
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# Propriétés
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> [!info] Principe du sudoku
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> Le théorème de cayley implique que la table de cayley d'un groupe respectera touours la règle du sudoku : chaque ligne et chaque colonne contient exactement une fois chaque symbole.
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# Exemples
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> [!example] Exemple sur $(\mathbb{Z}, +)$
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> Soit $m \in \mathbb{Z}$,
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> L'application $\begin{align} f :& \mathbb{Z} \to \mathbb{Z} \\& n \mapsto m+n \end{align}$
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> Est une bijection
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^example-Z-plus
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> [!example] Exemple sur $(\mathbb{R}^{*}, +)$
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> l'application $\begin{align} f :& \mathbb{R} \to \mathbb{R} \\& x \mapsto \pi x \end{align}$
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> est une [[bijection]]
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^example-R-plus
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> [!example] Exemple sur $(\mathfrak{S}_{n}, \circ)$
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> soit $\rho \in \mathfrak{S}_{n}$
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> les applications $\begin{align} f :& \mathfrak{S}_{n} \to \mathfrak{S}_{n} \\& \sigma \mapsto \rho \circ \sigma \end{align}$ et $\begin{align} g :& \mathfrak{S}_{n} \to \mathfrak{S}_{n} \\& \sigma \mapsto \sigma \circ \rho \end{align}$
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> sont des [[bijection|bijections]]
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^example
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