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up::[[arithmétique]]
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#s/maths/arithmétique
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Le Plus Grand Commun Diviseur de plusieurs nombres (souvent deux) est noté $\text{pgcd}(a; b; c;\cdots)$ et est le plus grand nombre qui divise tous ces nombres
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> [!definition] PGCD
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> $\mathrm{pgcd}(a;b) = \mathrm{max} \{ d \in \mathbb{Z} \mid (d \mid a) \wedge (d \mid b) \}$
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> Ou bien, pour plus de deux nombres :
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> $\mathrm{pgcd}(x_{1};x_{2};x_{3};\cdots) = \mathrm{max} \{ d \in \mathbb{Z} \mid (d\mid x_{1}) \wedge (d\mid x_{2}) \wedge (d\mid x_{3}) \cdots \}$
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^definition
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> [!definition] autre définition
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> Le $\text{pgcd}$ de $x_1, x_2, x_3,\ldots$ est le produit de l'intersection des [[ensemble avec répétitions]] des [[décomposition en facteurs premiers|décompositions en facteurs premiers]] de chacun des nombres $x_1,x_2,x_3,\ldots$
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^definition
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```breadcrumbs
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title: "Sous-notes"
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type: tree
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collapse: false
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show-attributes: [field]
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field-groups: [downs]
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depth: [0, 0]
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```
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# Propriétés
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Soient $a$ et $b$ deux entiers non nuls
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- $\mathrm{pgcd}(a,b)\times\mathrm{ppcm}(a,b)=|ab|$
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- [[ppcm]]
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> [!info] Notation
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> Le $\mathrm{pgcd}$ de $a$ et $b$ peut être noté :
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> - $\operatorname{pgcd}(a;b)$ ou $\operatorname{PGCD}(a;b)$
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> - $(a, b)$
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> - $a\wedge b$
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> - `a ∨ b` en [[APL]]
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> - plus cohérent quand on est sur $\{0; 1\}$
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> - `a and b` en [[python]]
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