68 lines
3.4 KiB
Markdown
68 lines
3.4 KiB
Markdown
---
|
|
up: ["[[application continue]]", "[[application linéaire]]"]
|
|
tags: ["#s/maths/algèbre", "#s/maths/topologie"]
|
|
---
|
|
|
|
> [!definition] [[application linéaire continue]]
|
|
> Une [[application linéaire]] qui est aussi [[application continue|continue]].
|
|
> On note $\mathcal{L}_{C}(E, F)$ l'ensemble des applications linéaires continue de $E \to F$
|
|
^definition
|
|
|
|
# Propriétés
|
|
|
|
> [!proposition]+ continuité des applications linéaires
|
|
> Soient $(E, \|\cdot\|_{E})$ et $(F, \|\cdot\|_{F})$ deux [[espace vectoriel|espaces vectoriels]] normés
|
|
> Soit $f : E \to F$ une [[application linéaire]], alors on une équivalence entre :
|
|
> 1. $f$ est continue
|
|
> 2. $f$ est continue en $0_{E}$
|
|
> 3. Il existe $C \geq 0$ tel que $\forall x \in E,\quad \|f(x)\|_{F} \leq C\|x\|_{E}$
|
|
> - I autrement dit, $\|f(\cdot)\|_{F} \leq C \|\cdot\|_{E}$ , c'est-à-dire que $f$ est inférieure (au sens des normes) à une fonction linéaire
|
|
>
|
|
> $\text{1.} \iff \text{2.} \iff \text{3.}$
|
|
>
|
|
> > [!démonstration]- Démonstration
|
|
> > - 1. $\implies$ 2.
|
|
> > évident : si $f$ continue en chaque point alors elle est continue, en particulier, en $0_{E}$
|
|
> > - 2. $\implies$ 3.
|
|
> > Prenons $\varepsilon = 1$ dans la définition de la continuité de $f$ en $0_{E}$ :
|
|
> > $\exists \eta >0,\quad \forall x \in E,\quad d_{E}(x, 0_{E}) < \eta \implies d_{F}(f(x), f(0_{E})) <1$
|
|
> > c'est-à-dire $\forall x \in E,\quad \|x-0_{E}\|_{E} < \eta \implies \|f(x) - f(0_{E})\|_{F} < 1$
|
|
> > donc, finalement : $\forall x \in E,\quad \|x\|_{E}<\eta \implies \|f(x)\|_{F} < 1$
|
|
> > Soit $x \in E \setminus \{ 0 \}$ un vecteur quelconque
|
|
> > considérons $\tilde{x} = \frac{\eta x}{2 \|x\|_{E}}$
|
|
> > On a $\|f(\tilde{x})\|_{F} \leq 1$
|
|
> > autrement dit, comme $x = \frac{2}{\eta}\|x\|_{E} \cdot\tilde{x}$
|
|
> > $f(x) = \frac{2}{\eta}\|x\|_{E} \cdot f(\tilde{x})$
|
|
> > et donc $\|f(x)\|_{F} = \frac{2}{\eta}\|x\|_{E} \cdot \underbrace{\|f(\tilde{x})\|_{F}}_{\leq 1}$
|
|
> > $\|f(x)\|_{F} \leq \frac{2}{\eta}\|x\|_{E}$
|
|
> > cette inégalité reste vraie si $x = 0_{E}$
|
|
> > D'où là propriété 3. avec $C = \frac{2}{\eta}$
|
|
> > - 3. $\implies$ 1.
|
|
> > Soient $a \in E$ et $\varepsilon>0$
|
|
> > on a $\forall x \in E,\quad \|f(x) - f(a)\|_{F} \leq C \|x - a\|$
|
|
> > Donc, si $\eta = \frac{\varepsilon}{C}$ et si $d(x, a) = \|x-a\|_{E} < \eta$
|
|
> > $\begin{align} d(f(x), f(a)) &= \|f(x) - f(a)\|_{F} \\&\leq C \|x-a\|_{E} \\&< C\eta = C \frac{\varepsilon}{\eta} \\&< \varepsilon \end{align}$
|
|
> > Ce qui montre que $f$ est continue en $a$ pour tout $a \in E$
|
|
>
|
|
|
|
![[espace vectoriel réel#^continuite-norme-infini]]
|
|
|
|
|
|
# Exemples
|
|
|
|
> [!example] Exemple d'application linéaire **non continue**
|
|
> Sur $E = \mathbb{R}[X]$ ([[ensemble des polynômes]])
|
|
> avec la norme $\|P\| = \sup_{x \in [0; 1]} |P(x)|$
|
|
> Soit : $\begin{align} f: E &\to \mathbb{R}\\ P &\mapsto P'(1) \end{align}$
|
|
> Alors, si $P = X^{n}$, $\displaystyle\|P\| = \sup_{x \in [0; 1]} |x| = 1$
|
|
> Mais, $f(P) = P'(1) = n$
|
|
> $\displaystyle \sup_{n \in \mathbb{N}} \frac{|f(X^{n})|}{\|X^{n}\|} = \sup_{n \in \mathbb{N}} \frac{n}{1} = +\infty$
|
|
> et
|
|
> $\displaystyle\sup_{n \in \mathbb{N}} \frac{|f(X^{n})|}{\|X^{n}\|} \leq \sup_{\substack{P \in \mathbb{R}[X]\\ P \neq 0_{\mathbb{R}[X]}}} \frac{|f(P)|}{\|P\|} = |\!|\!|f|\!|\!|$
|
|
>
|
|
> Donc $\not\exists C \geq 0,\quad \forall P \in \mathbb{R}[X],\quad |f(P)| \leq C \|P\|$
|
|
> et donc $f$ ne peut pas être continue
|
|
> Même si l'espace d'arrivée est de dimension finie, on peut avoir des applications linéaires non continue
|
|
>
|
|
|