Propriétés

[!proposition] \emptyset est un fermé L'ensemble vide est un fermé de tout espace métrique

[!démonstration]- Démonstration Il n'y a aucune suite à valeurs dans \emptyset, donc on a aucun contre-exemple. Le "pour tout" est vrai si on a aucune valeur (ex: \forall x \in \emptyset, \quad x^{2} = x est vrai).

[!proposition] complémentaires de fermés et d'ouverts Soit A \subset X une partie de X A \text{ est fermée} \iff X \setminus A \text{ est ouverte}

[!démonstration]- Démonstration Supposons X \setminus A ouverte Soit (x_{n})_{n \in \mathbb{N}} \in A^{\mathbb{N}} une suite d'éléments de A telle que (x_{n})_{n} admet une limite l \in X On cherche à montrer que l \in A Par l'absurde, supposons que l \notin A Comme X \setminus A est ouvert et l \in X \setminus A, on a \exists r >0, \quad B(l, r) \subset X\setminus A Or, (x_{n}) converge vers l. Donc, si \varepsilon = r dans la définition de la convergence : \exists N \in \mathbb{N}, \quad \forall n \geq N, \quad d(x_{n}, l) < r en particulier, d(x_{N}, l) < r, c'est-à-dire x_{N} \in B(l, r) \subset X \setminus A Or, c'est absurde car x_{N} \in A Notre supposition est donc fausse : on ne peut pas avoir l \notin A On a donc bien l \in A. On a donc montré que toute suite de A^{\mathbb{N}} converge dans A, et donc que A est fermée.

^complementaires-fermes-ouverts

[!proposition] Proposition Soit (X, d) un espace métrique Soit \mathscr{F} l'ensemble des fermés de X On a :

\emptyset \in \mathscr{F}

X \in \mathscr{F}

\displaystyle\forall \Omega \subset \mathscr{F}, \quad \bigcap _{F \in \Omega} F \quad\text{est fermée}

\displaystyle \forall \Omega \subset \mathscr{F} \text{ finie}, \quad \bigcup _{F \in \Omega} F\quad\text{est fermée}

! Une union infinie de fermés peut être ouverte. Par exemple : \bigcup\limits_{n \in \mathbb{N}^{*}} \left[0; 1- \frac{1}{n}\right] = [0; 1[

[!démonstration]- Démonstration La démonstration de fait à partir des partie ouverte d'un espace métrique#^union-intersection-ouverts, ainsi que les partie fermée d'un espace métrique#^complementaires-fermes-ouverts

[!proposition]+ Fermé d'une partie Soit (X, d) un espace métrique Soit (Y, d) \subset (X, d) Soit A \subset Y A \text{ est un fermé de } Y \iff \exists F \in X \text{ fermé},\quad A = Y \cap F !partie fermée d'un espace métrique 2024-12-29 16.08.27.excalidraw

Exemples

[!example] ]0; 1[ \subset \mathbb{R} L'intervalle A = ]0; 1[ n'est pas fermé dans \mathbb{R}. Prenons par exemple la suite (x_{n})_{n \in \mathbb{N}} définie par x_{n} = \dfrac{1}{n+1} On a bien \forall n\in \mathbb{N}, \quad 0 < x_{n} \leq \frac{1}{2} < 1 (car x_0 = \frac{1}{2}) Donc, 0 < x_{n} < 1 La suite (x_{n}) est bien à valeurs dans ]0; 1[ Mais (x_{n}) converge dans $\mathbb{R}$ vers 0, et 0 \notin ]0; 1[ On a donc un contre-exemple à l'axiome de fermeture, et on peut conclure que A n'est pas fermé

[!example] B = [0; 1] est un fermé de \mathbb{R} Si (u_{n})_{n \in \mathbb{N}} est une suite d'éléments de B : \forall n \in \mathbb{N}, \quad u_{n} \in [0; 1] ce qu'on peut réécrire sous la forme : \forall n \in \mathbb{N}, \quad 0 \leq u_{n} \leq 1 Et si, par ailleurs, (u_{n}) converge dans \mathbb{R} vers l \in \mathbb{R}, on a, en passant à la limite n \to +\infty : 0 \leq \lim\limits_{ n \to \infty } u_{n} \leq 1 c'est-à-dire l \in [0; 1]

[!example] ]0; 1] dans \mathbb{R} ou dans \mathbb{R}^{+*} ]0; 1] n'est pas un fermé de \mathbb{R} (la suite n \mapsto \frac{1}{n} converge dans \mathbb{R} mais pas dans ]0; 1]) Mais ]0; 1] est un fermé de \mathbb{R}^{+*} (car 0 \notin \mathbb{R}^{+*}) : En effet, si (u_{n}) est une suite d'éléments de ]0; 1] qui converge dans \mathbb{R}^{+*} vers l\in \mathbb{R}^{+*}, on a l > 0 Comme \forall n \in \mathbb{N}, \quad u_{n} \leq 1, on a l \leq 1. On a donc l \in ]0; 1], ce qui montre bien que ]0; 1] est un fermé de \mathbb{R}^{+*}

! On voit ici l'importance de l'espace métrique de départ, qui peut changer la fermeture d'une partie ^exemple-espace-qui-change-la-fermeture

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