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aliases:
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- idéaux
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- idéal
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up:
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- "[[anneau]]"
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tags:
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- s/maths/algèbre
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> [!definition] Définition
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> Soit $(A, +, \times)$ un [[anneau]]
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> $I \subset A$ est un **idéal de $A$** si :
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> - $I$ est un [[sous groupe]] de $(A, +)$
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> - $I$ est [[ensemble absorbant|absorbant]] : $\forall i \in I,\quad \forall a \in A,\quad \begin{cases} a\cdot i \in I\\ i \cdot a \in I \end{cases}$
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^definition
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> [!definition] Définition - idéal à gauche
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> Soit $(A, +, \times)$ un [[anneau]]
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> $I \subset A$ est un **idéal à droite de $A$** si :
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> - $I$ est un [[sous groupe]] de $(A, +)$
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> - $I$ est [[ensemble absorbant|absorbant]] : $\forall i \in I,\quad \forall a \in A,\quad a \cdot i \in I$
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^definition-a-gauche
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> [!definition] Définition - idéal à droite
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> Soit $(A, +, \times)$ un [[anneau]]
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> $I \subset A$ est un **idéal à droite de $A$** si :
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|
> - $I$ est un [[sous groupe]] de $(A, +)$
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|
> - $I$ est [[ensemble absorbant|absorbant]] : $\forall i \in I,\quad \forall a \in A,\quad i \cdot a \in I$
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^definition-a-droite
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```breadcrumbs
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title: "Sous-notes"
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type: tree
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collapse: false
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show-attributes: [field]
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field-groups: [downs]
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depth: [0, 0]
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```
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# Propriétés
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> [!proposition]+
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> Soit $I$ idéal d'un anneau $A$
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> Supposons qu'il existe $p \in I$ tel que $p$ est inversible dans $A$
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> alors $I = A$
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>
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> > [!démonstration]- Démonstration
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> > Soit $I$ idéal de $A$
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> > Soit $p \in I$ inversible dans $A$
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> > Alors :
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> > $\forall a \in A$
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> > $a = \underbracket{a p ^{-1}}_{\in A} \underbracket{p}_{ \in I}$
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> > or $I$ est [[ensemble absorbant|absorbant]] donc $a \in I$
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> > Ainsi $I \subset A$, or on a $A \subset I$ par définition, donc :
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> > $I = A$
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> [!proposition]+ union et somme d'idéaux
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> Soient $I$ et $J$ des idéaux d'un [[anneau]] $A$
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> Alors :
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> - $I \cap J$ est un idéal de $A$
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> - $I + J$ est un idéal de $A$
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> - ! $A \cup J$ **n'est pas** un idéal de $A$
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![[corps#^ideaux-dun-corps]]
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# Exemples
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